आइए एक बिंदु प्रक्षेपित करें एदोनों प्रक्षेपण तलों पर ओर्थोगोनली:

एए 1 _|_ पी 1 ;एए 1 ^पी 1 =ए 1 ;

AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ;

प्रक्षेपण किरणें एए 1 और एए 2परस्पर लंबवत और अंतरिक्ष में एक प्रक्षेपित तल का निर्माण करें एए 1 एए 2,प्रक्षेपणों के दोनों ओर लंबवत। यह तल प्रक्षेपण तलों को बिंदु के प्रक्षेपणों से गुजरने वाली रेखाओं के अनुदिश काटता है एक।

एक सपाट रेखाचित्र प्राप्त करने के लिए, प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल को संयोजित करें पी 1ललाट तल P 2 के साथ P 2 / P 1 अक्ष के चारों ओर घूमता है (चित्र 61, a)। तब बिंदु के दोनों प्रक्षेपण पी 2/पी 1 अक्ष के लंबवत एक ही रेखा पर होंगे। सीधा ए 1 ए 2,क्षैतिज रूप से जुड़ना ए 1और ललाट ए 2किसी बिंदु का प्रक्षेपण कहलाता है ऊर्ध्वाधर संचार लाइन.

परिणामी फ्लैट ड्राइंग को कहा जाता है जटिल रेखांकन.यह कई संयुक्त तलों पर किसी वस्तु की छवि है। एक जटिल रेखाचित्र जिसमें दो ओर्थोगोनल प्रक्षेपण आपस में जुड़े होते हैं, दो-प्रक्षेपण कहलाते हैं। इस ड्राइंग में, बिंदुओं के क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण हमेशा एक ही ऊर्ध्वाधर कनेक्शन रेखा पर स्थित होते हैं।

एक बिंदु के दो परस्पर जुड़े ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण विशिष्ट रूप से प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष इसकी स्थिति निर्धारित करते हैं। यदि हम बिंदु की स्थिति निर्धारित करते हैं एइन तलों के सापेक्ष (चित्र 61, बी) इसकी ऊँचाई एच (एए 1 =एच)और गहराई f(AA 2 =f ), फिर येएक जटिल रेखाचित्र में मात्राएँ एक ऊर्ध्वाधर संचार रेखा के खंडों के रूप में मौजूद होती हैं। यह परिस्थिति ड्राइंग को फिर से बनाना आसान बनाती है, यानी ड्राइंग से प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदु की स्थिति निर्धारित करना आसान बनाती है। ऐसा करने के लिए, गहराई के बराबर लंबाई के साथ ड्राइंग के बिंदु ए 2 पर ड्राइंग विमान के लंबवत (इसे ललाट मानते हुए) को पुनर्स्थापित करना पर्याप्त है एफ. इस लम्ब का अंत बिंदु की स्थिति निर्धारित करेगा एड्राइंग विमान के सापेक्ष.

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7. स्व-परीक्षण प्रश्न

स्व-परीक्षण प्रश्न

4. उस दूरी का क्या नाम है जो प्रक्षेपण तल के सापेक्ष किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करती है? पी 1, पी 2?

7. किसी समतल पर किसी बिंदु का अतिरिक्त प्रक्षेपण कैसे करें पी 4 _|_ पी 2 , पी 4 _|_ पी 1 , पी 5 _|_ पी 4 ?

9. आप किसी बिंदु के निर्देशांकों का उपयोग करके उसका एक जटिल चित्र कैसे बना सकते हैं?

33. एक बिंदु के तीन-प्रक्षेपण जटिल चित्रण के तत्व

§ 33. एक बिंदु के तीन-प्रक्षेपण जटिल चित्र के तत्व

अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय निकाय की स्थिति निर्धारित करने और उनकी छवियों पर अतिरिक्त जानकारी प्राप्त करने के लिए, तीसरे प्रक्षेपण का निर्माण करना आवश्यक हो सकता है। फिर तीसरा प्रक्षेपण विमान पर्यवेक्षक के दाईं ओर स्थित है, एक ही समय में क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के लंबवत पी 1और प्रक्षेपणों का ललाट तल पी 2 (चित्र 62, ए)। ललाट पी 2 के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप और प्रोफ़ाइल पी 3 प्रक्षेपण विमानों से हमें एक नई धुरी P 2 / P 3 प्राप्त होती है , जो ऊर्ध्वाधर संचार लाइन के समानांतर जटिल रेखाचित्र पर स्थित है ए 1 ए 2(चित्र 62, बी)।तीसरा बिंदु प्रक्षेपण ए- प्रोफाइल - ललाट प्रक्षेपण से जुड़ा हुआ प्रतीत होता है ए 2एक नई संचार लाइन जिसे क्षैतिज कहा जाता है

चावल। 62

नूह. बिंदुओं के ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण हमेशा एक ही क्षैतिज कनेक्शन लाइन पर स्थित होते हैं। इसके अतिरिक्त ए 1 ए 2 _|_ ए 2 ए 1और ए 2 ए 3 , _| _ पी 2 / पी 3 .

इस मामले में अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति इसकी विशेषता है अक्षांश- प्रक्षेपण पी 3 के प्रोफ़ाइल तल से इसकी दूरी, जिसे हम अक्षर द्वारा निरूपित करते हैं आर।

किसी बिंदु के परिणामी जटिल चित्रण को कहा जाता है तीन प्रक्षेपण.

तीन-प्रक्षेपण रेखाचित्र में, एक बिंदु की गहराई एए 2समतल पी 1 और पी 2 पर विरूपण के बिना प्रक्षेपित किया गया है (चित्र 62, ए)।यह परिस्थिति हमें बिंदु का तीसरा-ललाट प्रक्षेपण बनाने की अनुमति देती है एइसके क्षैतिज के साथ ए 1और ललाट ए 2अनुमान (चित्र 62, वी).ऐसा करने के लिए, आपको बिंदु के ललाट प्रक्षेपण के माध्यम से एक क्षैतिज संचार रेखा खींचने की आवश्यकता है ए 2 ए 3 _|_ए 2 ए 1।फिर, ड्राइंग में कहीं भी, प्रक्षेपण अक्ष P 2 / P 3 _|_ बनाएं ए 2 ए 3,क्षैतिज पर एक बिंदु की गहराई f मापें प्रक्षेपण क्षेत्र और इसे प्रक्षेपण अक्ष पी 2 / पी 3 से क्षैतिज कनेक्शन लाइन के साथ रखें। आइए एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण प्राप्त करें ए 3अंक एक।

इस प्रकार, एक बिंदु के तीन ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणों से युक्त एक जटिल ड्राइंग में, दो प्रक्षेपण एक ही कनेक्शन लाइन पर होते हैं; संचार लाइनें संबंधित प्रक्षेपण अक्षों के लंबवत हैं; एक बिंदु के दो प्रक्षेपण उसके तीसरे प्रक्षेपण की स्थिति को पूरी तरह से निर्धारित करते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जटिल चित्रों में, एक नियम के रूप में, प्रक्षेपण विमान सीमित नहीं होते हैं और उनकी स्थिति अक्षों द्वारा निर्दिष्ट होती है (चित्र 62, सी)। ऐसे मामलों में जहां समस्या की स्थितियों के लिए इसकी आवश्यकता नहीं है,

यह पता चला है कि बिंदुओं के प्रक्षेपण अक्षों को चित्रित किए बिना दिए जा सकते हैं (चित्र 63, ए, बी).ऐसी व्यवस्था को आधारहीन कहा जाता है. संचार लाइनें ब्रेक के साथ भी खींची जा सकती हैं (चित्र 63, बी)।

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34. त्रिविमीय कोण अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति

§ 34. त्रि-आयामी कोण के स्थान में एक बिंदु की स्थिति

एक जटिल रेखाचित्र में बिंदुओं के प्रक्षेपण का स्थान त्रि-आयामी कोण के स्थान में बिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है। आइए कुछ मामलों पर नजर डालें:

• बिंदु अंतरिक्ष में स्थित है (चित्र 62 देखें)। इस मामले में इसमें गहराई, ऊंचाई और चौड़ाई है;
• बिंदु प्रक्षेपण तल पर स्थित है पी 1- इसकी कोई ऊंचाई नहीं है, P 2 - इसकी कोई गहराई नहीं है, Pz - इसकी कोई चौड़ाई नहीं है;
• बिंदु प्रक्षेपण के अक्ष पर स्थित है, P 2 / P 1 में गहराई और ऊंचाई नहीं है, P 2 / P 3 में गहराई और अक्षांश नहीं है, और P 1 / P 3 में ऊंचाई और अक्षांश नहीं है।

35. प्रतिस्पर्धी अंक

§ 35. प्रतिस्पर्धी अंक

अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग तरीकों से स्थित हो सकते हैं। एक अलग मामले में, उन्हें स्थित किया जा सकता है ताकि कुछ प्रक्षेपण विमान पर उनके प्रक्षेपण मेल खाते हों। ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है प्रतिस्पर्धा.चित्र में. 64, एबिंदुओं का एक व्यापक चित्रण प्रदान किया गया है एऔर में।वे स्थित हैं ताकि उनके प्रक्षेपण विमान पर मेल खाते हों पी 1 [ए 1 == बी 1]।ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है क्षैतिज प्रतिस्पर्धा।यदि बिंदुओं का प्रक्षेपण ए और बीसमतल पर संयोग करो

पी 2(चित्र 64, बी),उन्हें बुलाया गया है सामने से प्रतिस्पर्धा।और यदि अंक के अनुमान एऔर मेंसमतल पी 3 [ए 3 == बी 3 ] पर संपाती (चित्र 64, सी), उन्हें कहा जाता है प्रोफ़ाइल प्रतिस्पर्धी.

ड्राइंग में दृश्यता प्रतिस्पर्धी बिंदुओं द्वारा निर्धारित की जाती है। क्षैतिज रूप से प्रतिस्पर्धी बिंदुओं के लिए, अधिक ऊंचाई वाला दिखाई देगा, सामने वाले प्रतिस्पर्धी बिंदुओं के लिए, अधिक गहराई वाला दिखाई देगा, और प्रोफ़ाइल प्रतिस्पर्धी बिंदुओं के लिए, अधिक अक्षांश वाला दिखाई देगा।

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36. प्रक्षेपण विमानों को बदलना

§ 36. प्रक्षेपण विमानों का प्रतिस्थापन

एक बिंदु के तीन-प्रक्षेपण रेखाचित्र के गुण उसके क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपणों का उपयोग करके दिए गए प्रक्षेपण विमानों को बदलने के लिए दर्ज किए गए अन्य प्रक्षेपण विमानों पर एक तिहाई का निर्माण करने की अनुमति देते हैं।

चित्र में. 65, एबिंदु दिखा रहा है एऔर इसके प्रक्षेपण क्षैतिज हैं ए 1और ललाट ए 2.समस्या की स्थिति के अनुसार पी 2 विमानों को बदलना आवश्यक है। आइए नए प्रक्षेपण विमान पी 4 को निरूपित करें और इसे लंबवत रखें पी 1.विमानों के चौराहे पर पी 1और P 4 हमें एक नई धुरी P 1 / P 4 मिलती है . नया बिंदु प्रक्षेपण ए 4पर स्थित होगा एक बिंदु से होकर गुजरने वाली संचार लाइन ए 1और पी 1 / पी 4 अक्ष के लंबवत .

नए विमान के बाद से पी 4ललाट प्रक्षेपण विमान पी 2, बिंदु ऊंचाई को प्रतिस्थापित करता है एपी 2 तल और पी 4 तल दोनों पर पूर्ण आकार में समान रूप से दर्शाया गया है।

यह परिस्थिति हमें प्रक्षेपण की स्थिति निर्धारित करने की अनुमति देती है ए 4,विमानों की एक प्रणाली में पी 1 _|_ पी 4(चित्र 65, बी)एक जटिल रेखाचित्र पर. ऐसा करने के लिए, प्रतिस्थापित किए जा रहे विमान पर बिंदु की ऊंचाई को मापना पर्याप्त है

प्रक्षेपण पी 2 की तीव्रता, इसे प्रक्षेपण के नए अक्ष से एक नई कनेक्शन लाइन पर रखें - और बिंदु का एक नया प्रक्षेपण ए 4इसे बनाया जाएगा.

यदि क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के स्थान पर एक नया प्रक्षेपण विमान पेश किया जाता है, अर्थात P 4 _|_ P 2 (चित्र 66, ए),फिर विमानों की नई प्रणाली में बिंदु का नया प्रक्षेपण ललाट प्रक्षेपण के साथ संचार की एक ही रेखा पर होगा, और ए 2 ए 4 _|_.इस स्थिति में, बिंदु की गहराई समतल पर समान होती है पी 1,और विमान पर पी 4.इसी आधार पर वे निर्माण करते हैं ए 4(चित्र 66, बी)संचार लाइन पर ए 2 ए 4नई धुरी P 1 / P 4 से इतनी दूरी पर क्या ए 1पी 2/पी 1 अक्ष से स्थित है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, नए अतिरिक्त अनुमानों का निर्माण हमेशा विशिष्ट कार्यों से जुड़ा होता है। भविष्य में, कई मीट्रिक और स्थितीय समस्याओं पर विचार किया जाएगा जिन्हें प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ऐसी समस्याओं में जहां एक अतिरिक्त विमान की शुरूआत वांछित परिणाम नहीं देगी, एक और अतिरिक्त विमान पेश किया जाता है, जिसे पी 5 नामित किया गया है। इसे पहले से ही प्रस्तुत विमान पी 4 के लंबवत रखा गया है (चित्र 67, ए), यानी पी 5 पी 4 और पहले चर्चा की गई संरचनाओं के समान एक निर्माण तैयार करें। अब दूरियाँ मुख्य प्रक्षेपण विमानों के प्रतिस्थापित दूसरे पर मापी जाती हैं (चित्र 67 में, बीसतह पर पी 1)और उन्हें एक नई संचार लाइन पर स्थगित करें ए 4 ए 5,नए प्रक्षेपण अक्ष पी 5 / पी 4 से। विमानों की नई प्रणाली पी 4 पी 5 में, एक नया दो-प्रक्षेपण चित्र प्राप्त होता है, जिसमें ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण शामिल होते हैं ए 4और ए 5 , संचार लाइन द्वारा जुड़ा हुआ

इस लेख में हम इस सवाल के जवाब पाएंगे कि किसी समतल पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण कैसे बनाया जाए और इस प्रक्षेपण के निर्देशांक कैसे निर्धारित किए जाएं। सैद्धांतिक भाग में हम प्रक्षेपण की अवधारणा पर भरोसा करेंगे। हम शर्तों को परिभाषित करेंगे और उदाहरणों के साथ जानकारी प्रदान करेंगे। आइए उदाहरणों को हल करके अर्जित ज्ञान को समेकित करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

प्रक्षेपण, प्रक्षेपण के प्रकार

स्थानिक आकृतियों को देखने की सुविधा के लिए, इन आकृतियों को दर्शाने वाले चित्रों का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 1

एक समतल पर किसी आकृति का प्रक्षेपण– एक स्थानिक आकृति का चित्रण.

जाहिर है, प्रक्षेपण के निर्माण के लिए कई नियमों का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 2

प्रक्षेपण- निर्माण नियमों का उपयोग करके एक विमान पर एक स्थानिक आकृति का चित्र बनाने की प्रक्रिया।

प्रक्षेपण विमान- यह वह तल है जिसमें छवि का निर्माण किया जाता है।

कुछ नियमों का उपयोग प्रक्षेपण के प्रकार को निर्धारित करता है: केंद्रीयया समानांतर.

समानांतर प्रक्षेपण का एक विशेष मामला लंबवत प्रक्षेपण या ऑर्थोगोनल है: ज्यामिति में इसका मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है। इस कारण से, विशेषण "लंबवत" को अक्सर भाषण में छोड़ दिया जाता है: ज्यामिति में वे बस "एक आकृति का प्रक्षेपण" कहते हैं और इसका मतलब लंबवत प्रक्षेपण की विधि का उपयोग करके एक प्रक्षेपण का निर्माण करना है। विशेष मामलों में, निश्चित रूप से, किसी और बात पर सहमति हो सकती है।

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक समतल पर किसी आकृति का प्रक्षेपण अनिवार्य रूप से इस आकृति के सभी बिंदुओं का प्रक्षेपण है। इसलिए, किसी चित्र में किसी स्थानिक आकृति का अध्ययन करने में सक्षम होने के लिए, किसी बिंदु को समतल पर प्रक्षेपित करने का बुनियादी कौशल हासिल करना आवश्यक है। हम नीचे किस बारे में बात करेंगे।

आइए हम याद करें कि ज्यामिति में अक्सर, जब किसी समतल पर प्रक्षेपण के बारे में बात की जाती है, तो उनका मतलब लंबवत प्रक्षेपण के उपयोग से होता है।

आइए हम ऐसे निर्माण करें जो हमें एक समतल पर एक बिंदु के प्रक्षेपण की परिभाषा प्राप्त करने का अवसर देंगे।

मान लीजिए कि एक त्रि-आयामी स्थान दिया गया है, और इसमें एक विमान α और एक बिंदु एम 1 है जो विमान α से संबंधित नहीं है। दिए गए बिंदु M से होकर एक सीधी रेखा खींचिए एकिसी दिए गए विमान α के लंबवत। हम सीधी रेखा a और समतल α के प्रतिच्छेदन बिंदु को H 1 के रूप में निरूपित करते हैं; निर्माण के अनुसार, यह बिंदु M 1 से समतल α पर गिराए गए लंबवत के आधार के रूप में कार्य करेगा।

यदि किसी दिए गए विमान α से संबंधित एक बिंदु एम 2 दिया गया है, तो एम 2 विमान α पर स्वयं के प्रक्षेपण के रूप में कार्य करेगा।

परिभाषा 3

- यह या तो स्वयं बिंदु है (यदि यह किसी दिए गए विमान से संबंधित है), या किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान पर गिराए गए लंबवत का आधार है।

एक समतल पर एक बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक ढूँढना, उदाहरण

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में निम्नलिखित दिया गया है: एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z, एक समतल α, एक बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1)। किसी दिए गए तल पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान स्पष्ट रूप से एक तल पर एक बिंदु के प्रक्षेपण की ऊपर दी गई परिभाषा से अनुसरण करता है।

आइए हम समतल α पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण को H 1 के रूप में निरूपित करें। परिभाषा के अनुसार, H 1 किसी दिए गए विमान α का प्रतिच्छेदन बिंदु है और बिंदु M 1 (विमान के लंबवत) के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा है। वे। बिंदु M1 के प्रक्षेपण के जिन निर्देशांकों की हमें आवश्यकता है वे सीधी रेखा a और समतल α के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं।

इस प्रकार, किसी समतल पर किसी बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए यह आवश्यक है:

समतल α का समीकरण प्राप्त करें (यदि यह निर्दिष्ट नहीं है)। समतल समीकरणों के प्रकारों के बारे में एक लेख यहां आपकी सहायता करेगा;

बिंदु M 1 से गुजरने वाली और समतल α के लंबवत रेखा a का समीकरण निर्धारित करें (किसी दिए गए तल के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण के बारे में विषय का अध्ययन करें);

सीधी रेखा a और समतल α के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें (लेख - समतल और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना)। प्राप्त डेटा वे निर्देशांक होंगे जिनकी हमें समतल α पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण के लिए आवश्यकता होगी।

आइए व्यावहारिक उदाहरणों के साथ सिद्धांत को देखें।

उदाहरण 1

समतल 2 x – 3 y + z - 2 = 0 पर बिंदु M 1 (- 2, 4, 4) के प्रक्षेपण के निर्देशांक निर्धारित करें।

समाधान

जैसा कि हम देखते हैं, समतल का समीकरण हमें दिया गया है, अर्थात्। इसे संकलित करने की कोई आवश्यकता नहीं है.

आइए हम बिंदु M 1 से गुजरने वाली और दिए गए तल के लंबवत एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखें। इन उद्देश्यों के लिए, हम सीधी रेखा a के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। चूँकि रेखा a किसी दिए गए तल पर लंबवत है, रेखा a का दिशा सदिश समतल 2 x - 3 y + z - 2 = 0 का सामान्य सदिश है। इस प्रकार, a → = (2, - 3, 1) - सीधी रेखा a का दिशा सदिश।

आइए अब अंतरिक्ष में बिंदु M 1 (- 2, 4, 4) से गुजरने वाली और एक दिशा वेक्टर वाली एक रेखा के विहित समीकरण बनाएं ए → = (2 , - 3 , 1) :

एक्स + 2 2 = वाई - 4 - 3 = जेड - 4 1

आवश्यक निर्देशांक खोजने के लिए, अगला चरण सीधी रेखा x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 और समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना है। 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . इन उद्देश्यों के लिए, हम विहित समीकरणों से दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों की ओर बढ़ते हैं:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

और आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

इस प्रकार, किसी दिए गए समतल α पर दिए गए बिंदु M 1 के आवश्यक निर्देशांक होंगे: (0, 1, 5)।

उत्तर: (0 , 1 , 5) .

उदाहरण 2

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z में, बिंदु A (0, 0, 2) दिए गए हैं; बी (2, - 1, 0); सी (4, 1, 1) और एम 1 (-1, -2, 5)। समतल A B C पर प्रक्षेपण M 1 के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है

समाधान

सबसे पहले, हम तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमान का समीकरण लिखते हैं:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

आइए हम रेखा a के पैरामीट्रिक समीकरण लिखें, जो विमान A B C के लंबवत बिंदु M 1 से होकर गुजरेगी। विमान x - 2 y + 2 z - 4 = 0 में निर्देशांक (1, -) के साथ एक सामान्य वेक्टर है 2, 2), यानी वेक्टर a → = (1, - 2, 2) - सीधी रेखा a का दिशा सदिश।

अब, रेखा एम 1 के बिंदु के निर्देशांक और इस रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक होने पर, हम अंतरिक्ष में रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं:

फिर हम समतल x – 2 y + 2 z – 4 = 0 और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करते हैं

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

ऐसा करने के लिए, हम समतल के समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

अब, पैरामीट्रिक समीकरण x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ का उपयोग करके, हम λ = - 1 के लिए चर x, y और z के मान पाते हैं: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

इस प्रकार, समतल A B C पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण में निर्देशांक (- 2, 0, 3) होंगे।

उत्तर: (- 2 , 0 , 3) .

आइए हम समन्वय विमानों और समन्वय विमानों के समानांतर वाले विमानों पर एक बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजने के मुद्दे पर अलग से ध्यान दें।

मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और निर्देशांक तल O x y, O x z और O y z दिए गए हैं। इन तलों पर इस बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक क्रमशः होंगे: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) और (0, y 1, z 1)। आइए हम दिए गए निर्देशांक तलों के समानांतर समतलों पर भी विचार करें:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

और इन तलों पर दिए गए बिंदु M 1 के प्रक्षेपण निर्देशांक x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 और - D A, y 1, z 1 वाले बिंदु होंगे।

आइए प्रदर्शित करें कि यह परिणाम कैसे प्राप्त हुआ।

उदाहरण के तौर पर, आइए समतल A x + D = 0 पर बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) के प्रक्षेपण को परिभाषित करें। बाकी मामले भी ऐसे ही हैं.

दिया गया तल निर्देशांक तल O y z के समानांतर है और i → = (1, 0, 0) इसका सामान्य वेक्टर है। वही वेक्टर O y z तल पर लंबवत रेखा के दिशा वेक्टर के रूप में कार्य करता है। तब बिंदु M 1 से होकर किसी दिए गए तल पर लंबवत खींची गई एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण इस प्रकार होंगे:

एक्स = एक्स 1 + λ वाई = वाई 1 जेड = जेड 1

आइए इस रेखा और दिए गए तल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। आइए सबसे पहले समीकरण A x + D = 0 में समानताएं रखें: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 और प्राप्त करें: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - डी ए - एक्स 1

फिर हम λ = - D A - x 1 के साथ सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके आवश्यक निर्देशांक की गणना करते हैं:

एक्स = एक्स 1 + - डी ए - एक्स 1 वाई = वाई 1 जेड = जेड 1 ⇔ एक्स = - डी ए वाई = वाई 1 जेड = जेड 1

अर्थात्, समतल पर बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) का प्रक्षेपण निर्देशांक वाला एक बिंदु होगा - D A, y 1, z 1।

उदाहरण 2

निर्देशांक तल O x y पर और समतल 2 y - 3 = 0 पर बिंदु M 1 (- 6, 0, 1 2) के प्रक्षेपण के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

निर्देशांक तल O x y, समतल z = 0 के अपूर्ण सामान्य समीकरण के अनुरूप होगा। समतल z = 0 पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण में निर्देशांक (- 6, 0, 0) होंगे।

समतल समीकरण 2 y - 3 = 0 को y = 3 2 2 के रूप में लिखा जा सकता है। अब बस बिंदु M 1 (- 6, 0, 1 2) के प्रक्षेपण के निर्देशांक को समतल y = 3 2 2 पर लिखें:

6 , 3 2 2 , 1 2

उत्तर:(- 6 , 0 , 0) और - 6 , 3 2 2 , 1 2

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आयताकार प्रक्षेपण के साथ, प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में दो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमान होते हैं (चित्र 2.1)। वे एक को क्षैतिज और दूसरे को लंबवत रखने पर सहमत हुए।

क्षैतिज रूप से स्थित प्रक्षेपण तल कहलाता है क्षैतिज प्रक्षेपण विमानऔर निरूपित करें एसएच,और इसके लंबवत् तल है प्रक्षेपणों का ललाट तलमैं 2.प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली को ही दर्शाया गया है पी/पी 2.आमतौर पर संक्षिप्त अभिव्यक्तियों का उपयोग किया जाता है: समतल एल[,विमान एन 2.समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा एसएचऔर से 2बुलाया प्रक्षेपण अक्षओह।यह प्रत्येक प्रक्षेपण तल को दो भागों में विभाजित करता है - मंजिलों।क्षैतिज प्रक्षेपण तल में आगे और पीछे की मंजिलें होती हैं, और ललाट तल में ऊपरी और निचली मंजिलें होती हैं।

विमान एसएचऔर एन 2अंतरिक्ष को चार भागों में विभाजित करें, कहा जाता है तिमाहियों मेंऔर रोमन अंक I, II, III और IV द्वारा निर्दिष्ट (चित्र 2.1 देखें)। पहली तिमाही ऊपरी खोखले ललाट और पूर्वकाल खोखले क्षैतिज प्रक्षेपण विमानों द्वारा सीमित स्थान का हिस्सा है। अंतरिक्ष के शेष तिमाहियों के लिए, परिभाषाएँ पिछले एक के समान हैं।

सभी मैकेनिकल इंजीनियरिंग चित्र एक ही तल पर बनी छवियां हैं। चित्र में. 2.1 प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली स्थानिक है। छवियों को एक ही तल पर ले जाने के लिए, हम प्रक्षेपण तलों को संयोजित करने पर सहमत हुए। आमतौर पर सपाट एन 2गतिहीन छोड़ दिया, और विमान पीअक्ष के चारों ओर तीरों द्वारा इंगित दिशा में घुमाएँ (चित्र 2.1 देखें)। ओह 90° के कोण पर जब तक यह समतल के साथ संरेखित न हो जाए एन 2.इस घुमाव के साथ, क्षैतिज तल का अगला तल नीचे चला जाता है, और पिछला तल ऊपर चला जाता है। विमानों को मिलाने के बाद वे ऐसे दिखते हैं

अंजीर से शादी की. 2.2. ऐसा माना जाता है कि प्रक्षेपण तल अपारदर्शी होते हैं और प्रेक्षक हमेशा पहली तिमाही में होता है। चित्र में. 2.2 फर्शों के संयोजन के बाद अदृश्य होने वाले विमानों का पदनाम कोष्ठक में लिया गया है, जैसा कि चित्रों में अदृश्य आकृतियों को उजागर करने के लिए प्रथागत है।

प्रक्षेपित बिंदु अंतरिक्ष के किसी भी चौथाई भाग में या किसी प्रक्षेपण तल पर स्थित हो सकता है। सभी मामलों में, प्रक्षेपणों के निर्माण के लिए, इसके माध्यम से प्रक्षेपण रेखाएँ खींची जाती हैं और समतल 711 और 712, जो प्रक्षेपण हैं, के साथ उनके मिलन बिंदु पाए जाते हैं।

प्रथम तिमाही में स्थित एक बिंदु के प्रक्षेपण पर विचार करें। प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली 711/712 और बिंदु निर्दिष्ट हैं ए(चित्र 2.3)। इसके माध्यम से दो सीधी रेखाएँ खींची गई हैं, जो समतल 71) और 71 2 पर लंबवत हैं। उनमें से एक विमान 711 को बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगा ए ",बुलाया बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण,और दूसरा बिंदु पर विमान 71 2 है ए ",बुलाया बिंदु A का ललाट प्रक्षेपण.

सीधी रेखाएँ प्रक्षेपित करना एए"और एए"प्रक्षेपण विमान का निर्धारण करें ए. यह समतलों के लंबवत है किप 2,चूँकि यह उनके लंबवत से होकर गुजरता है और प्रक्षेपण तलों को सीधी रेखाओं के साथ काटता है ए "आह और ए" आह.प्रक्षेपण अक्ष ओहसमतल ओएस के लंबवत, दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के रूप में 71| और 71 2, तीसरे तल (ए) के लंबवत, और इसलिए इसमें पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लिए। विशेष रूप से, 0X1A"ए एक्सऔर 0X1A "आह.

विमानों का संयोजन करते समय, एक खंड ए "आह,समतल से 2,गतिहीन रहता है, और खंड ए "ए एक्सविमान 71) के साथ मिलकर अक्ष के चारों ओर घूमेगा ओहविमान 71 2 के साथ संरेखित होने तक। बिंदु प्रक्षेपण के साथ संयुक्त प्रक्षेपण विमानों का दृश्य एचित्र में दिखाया गया है 2.4, एक।बिंदु को मिलाने के बाद ए", कुल्हाड़ी और ए"अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित होगा ओह।इसका तात्पर्य यह है कि एक ही बिंदु के दो प्रक्षेपण

प्रक्षेपण अक्ष के एक सामान्य लंबवत पर स्थित हों। एक ही बिंदु के दो प्रक्षेपों को जोड़ने वाला यह लम्ब कहलाता है प्रक्षेपण संचार लाइन.

चित्र में आरेखण. 2.4, एबहुत सरल बनाया जा सकता है. चित्रों में संयुक्त प्रक्षेपण विमानों के पदनामों को चिह्नित नहीं किया गया है और परंपरागत रूप से प्रक्षेपण विमानों को सीमित करने वाले आयतों को चित्रित नहीं किया गया है, क्योंकि विमान असीमित हैं। सरलीकृत बिंदु रेखांकन ए(चित्र 2.4, बी)यह भी कहा जाता है आरेख(फ्रेंच से ?शुद्ध - ड्राइंग)।

चित्र में दिखाया गया है। 2.3 चतुर्भुज AE4 "ए एच ए"एक आयत है और इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर हैं। अत: बिंदु से दूरी एशीर्ष लेन पी, एक खंड द्वारा मापा गया आ", ड्राइंग में खंड द्वारा निर्धारित किया जाता है ए "आह.खंड ए "ए एक्स = एए"आपको एक बिंदु से दूरी का आकलन करने की अनुमति देता है एशीर्ष लेन से 2.इस प्रकार, एक बिंदु का चित्रण प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष उसके स्थान की पूरी तस्वीर देता है। उदाहरण के लिए, चित्र के अनुसार (चित्र 2.4 देखें, बी)यह तर्क दिया जा सकता है कि मुद्दा एपहले क्वार्टर में स्थित है और विमान से दूर है एन 2तब से विमान से कम दूरी पर ए "ए एक्सए "आह.

आइए अंतरिक्ष के दूसरे, तीसरे और चौथे क्वार्टर में एक बिंदु को प्रक्षेपित करने की ओर आगे बढ़ें।

किसी बिंदु को प्रक्षेपित करते समय में,दूसरी तिमाही में स्थित (चित्र 2.5), विमानों के संयोजन के बाद, इसके दोनों प्रक्षेपण अक्ष के ऊपर होंगे ओह।

तीसरी तिमाही (चित्र 2.6) में निर्दिष्ट बिंदु C का क्षैतिज प्रक्षेपण, अक्ष के ऊपर स्थित है ओह,और सामने वाला निचला है.

बिंदु D चित्र में दिखाया गया है। 2.7, चौथी तिमाही में स्थित है। प्रक्षेपण तलों के संयोजन के बाद इसके दोनों प्रक्षेपण अक्ष के नीचे होंगे ओह।

अंतरिक्ष के विभिन्न तिमाहियों में स्थित बिंदुओं के चित्रों की तुलना करते हुए (चित्र 2.4-2.7 देखें), आप देख सकते हैं कि प्रत्येक को प्रक्षेपण के अक्ष के सापेक्ष प्रक्षेपणों के अपने स्थान की विशेषता है। ओह।

विशेष मामलों में, प्रक्षेपित बिंदु प्रक्षेपण तल पर स्थित हो सकता है। तब इसका एक प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है, और दूसरा प्रक्षेपण की धुरी पर स्थित होगा। उदाहरण के लिए, एक बिंदु के लिए इ,हवाई जहाज़ पर लेटा हुआ एसएच(चित्र 2.8), क्षैतिज प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है, और ललाट अक्ष पर है ओह।बिंदु पर इ,एक विमान पर स्थित है से 2(चित्र 2.9), अक्ष पर क्षैतिज प्रक्षेपण ओह,और सामने वाला बिंदु से ही मेल खाता है।