Vienkāršas darbības ar procentiem. Procentuālās problēmas

Šodien mēs runāsim par interesi.

Nav iespējams ieguldīt, nesaprotot, kas ir procenti un kā tiek aprēķināta rentabilitāte.

Parasti ar vienkāršiem procentiem problēmu nav, ikviens, kurš kādreiz ir glabājis naudu noguldījumā bankā, saprot, ka, piemēram, procentu likme ir 10% gadā noguldījumam 50 000 rubļu apmērā. gadā dos 5000 ienākumus.

Grūtāk ir saprast salikto procentu efektu, taču tas ir ļoti svarīgi ilgtermiņa investīcijās, t.i. kad investīcijas tiek veiktas ar mērķi sasniegt finansiālu brīvību.

Būtībā ar saliktajiem procentiem procentu ienākumi tiek reinvestēti, palielinot noguldījuma apjomu. Šeit ir piemērs, pieņemsim, ka jums ir 100 000 rubļu. un uz tiem jūs saņemat 10% no ienākumiem, t.i. 10 000 rubļu. gadā.

Pirmajā gadā jūs saņēmāt 10 000 rubļu. un jūsu iemaksa palielinājās par šiem 10 000, sastādot 110 000 rubļu.

Otrajā gadā jūsu ienākumi jau būs 10% no 110 000 rubļu, t.i. 11 000 rubļu, ko jūs arī pievienojat depozītam, kas kļūst 110 000 + 11 000 = 121 000 rubļu.

Trešais gads: Jūsu 121 tūkstotis rubļu atkal ienes 10%, kas ir 12 100 rubļu rubļos, un jūsu ieguldījums trešā gada beigās būs 121 000 + 12 100 = 133 100 rubļu.

utt.

Formalizētā formā saliktos procentus raksta šādi:

FV = PV (1 + r)^n

Kur F.V.– depozīta nākotnes vērtība;PV– depozīta sākotnējās izmaksas;r– atdeves likme (rentabilitāte);n– periodu skaits.

Nu, pārbaudiet formulu, izmantojot mūsu piemēru FV = 10 000 (1 + 0,1) ^ 3 = 133 100 rubļu. Kā redzat, viss sanāca :)

Kad jūs ieguldāt ilgtermiņa termiņi, tad salikto procentu vērtība ļoti pieaug.

Iedomājieties šādu piemēru: ja piena cena pieaugs par 10% gadā, cik tas maksās pēc 20 gadiem? Ja šodien piens maksā 30 rubļus litrā, tad pieļaujot piena pašizmaksas pieaugumu par 10% gadā, pēc 20 gadiem piens maksās FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 rublis 82 kapeikas!

Šis piemērs, starp citu, ļoti labi parāda nepieciešamību ieguldīt un saglabāt savu kapitālu, jo tas arī amortizē pēc salikto procentu formulas.

Šo formulu sauc arī par “Rotšilda formulu”, “velna formulu”, bet angļu valodā un finanšu aprindās to sauc par “compounding”.

Viss uz zemes mainās pēc salikto procentu formulas: inflācija, palielināts naftas vai kviešu patēriņš, mainās zemes iedzīvotāju skaits utt.

Kad jūs ieguldāt procentuālo daļu, kas darbojas jūsu labā, šeit ir piemērsIepriekš minēju par pensijām:

Cik naudas vidējais krievs varēs ietaupīt, ja ieguldīs 3000 rubļu? mēnesī 30 gadus? Pieņemsim, ka viņa investīciju pieaugums būs 5% gadā, un ieguldījumu atdeve būs vienāda ar 17% gadā.

Pēc 30 gadiem būs sakrājušies 32 022 812 rubļi. Šādi saliktie procenti darbojas jūsu labā, darbojoties kā svira, kas palielina jūsu ieguldījumu.

Bet tas darbojas arī pret to, piemēram, ņemot kredītus.

Principā ir programmas, kas ļauj aprēķināt saliktos procentus un ar tiem saistītās mūža rentes formulas (par mūža renti tiek uzskatīta maksājumu virkne, kas ir vienādi (vai mainās saskaņā ar modeli) un ir viena no otras attālināti par vienu un to pašu. laika periods; piemērs ar 3000 rubļu uzkrāšanu mēnesī arī uzskatāms par mūža renti. mēnesi lielāki un vienādi ikmēneša kredīta maksājumi laika gaitā).

Vari izmēģināt pats, es izmantojukā šī programma iPad , tas ir bezmaksas, un tiem ir arī iespējas Android ierīcēm.

Attēlā parādīts piemērs aizdevuma maksājumu summas aprēķināšanai, izmantojot šo programmu.

Tur var izmēģināt arī citus finanšu aprēķinus, piemēram, salikto procentu un mūža rentes aprēķināšanu.

Izmēģiniet to, galvenais ir saprast pašu principu.

Procenti matemātikā. Problēmas, kas saistītas ar procentiem.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Procenti matemātikā.

Kas notika procenti matemātikā? Kā izlemt procentu problēmas? Šie jautājumi uznirst, ak, pēkšņi... Kad absolvents nolasa Vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Un viņi viņu nostādīja strupceļā. Bet velti. Tie ir ļoti vienkārši jēdzieni.

Vienīgais, kas jums jāatceras, ir tas, kas tas ir viens procents . Šis jēdziens ir galvenā atslēga Procentuālo problēmu risināšanai un darbam ar procentiem kopumā.

Viens procents ir viena simtdaļa no skaitļa . Tas ir viss. Gudrības vairs nav.

Saprātīgs jautājums - kā ar simto daļu? kāds datums ? Bet skaitlis, kas ir apspriests uzdevumā. Ja runa ir par cenu, viens procents ir viena simtā daļa no cenas. Ja runājam par ātrumu, viens procents ir viena simtā daļa no ātruma. Un tā tālāk. Ir skaidrs, ka pats attiecīgais skaitlis vienmēr ir 100%. Un ja paša skaitļa nav, tad procentiem nav nozīmes...

Vēl viena lieta ir tāda, ka sarežģītās problēmās pats numurs tiks paslēpts tik daudz, ka jūs to neatradīsit. Bet mēs vēl nemērķējam uz sarežģīto. Tiksim galā ar procenti matemātikā.

Ne velti es uzsveru vārdus viens procents, viena simtdaļa. Atceroties, kas tas ir viens procents, jūs varat viegli atrast divus procentus, un trīsdesmit četrus, un septiņpadsmit, un simts divdesmit sešus! Jūs atradīsiet tik daudz, cik jums nepieciešams.

Un šī, starp citu, ir galvenā prasme problēmu risināšanā, kas saistītas ar procentiem.

Pamēģināsim?

Atradīsim 3% no 400. Vispirms atradīsim viens procents. Šī būs viena simtā daļa, t.i. 400/100 = 4. Viens procents ir 4. Cik procentu mums vajag? Trīs. Tātad mēs reizinām 4 ar trīs. Mēs iegūstam 12. Tas arī viss. Trīs procenti no 400 ir 12.

5% no 20 ir 20 dalīts ar 100 (viena simtā daļa ir 1%) un reizināts ar pieci (5%):

5% no 20 būs 1. Tas arī viss.

Tas nevarētu būt vienkāršāk. Ātri trenēsimies, pirms aizmirstam!

Uzziniet, cik tas būs:
5% no 200 rubļiem.
8% no 350 kilometriem.
120% no 10 litriem.
15% no 60 grādiem.
4% izcilnieku no 25 studentiem.
10% nabadzīgo studentu no 20 cilvēkiem.

Atbildes (pilnīgā nekārtībā): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Šie skaitļi ir rubļu, grādu, studentu utt. Nerakstīju cik no kā, lai būtu interesantāk lemt...

Ko darīt, ja mums vajag pierakstīt X% no kāda skaitļa, piemēram, no 50? Jā, viss ir vienāds. Viens procents no 50 – cik daudz? Tieši tā, 50/100 = 0,5. Un mums ir šis procents - X. Reizināsim 0,5 ar X! Mēs to saņemam X% no 50 tas ir - 0,5x.

ES ceru procenti matemātikā tu saprati. Un jūs varat viegli atrast jebkuru procentuālo daļu no jebkura skaitļa. Tas ir vienkārši. Tagad jūs varat tikt galā ar aptuveni 60% no visām procentuālajām problēmām! Jau vairāk nekā puse. Nu, pabeigsim pārējo? Labi, lai ko tu teiktu!

Problēmās, kas saistītas ar procentiem, bieži notiek pretēja situācija. Viņi mums dod daudzumus (jebkura veida), bet mums ir jāatrod interese . Apgūsim šo vienkāršo procesu.

3 cilvēki no 120 – cik procenti? Nezinu? Nu tad lai ir X procentiem.

Aprēķināsim X% no 120 cilvēkiem. Cilvēkos. Tas ir tas, ko mēs varam darīt. Sadaliet 120 ar 100 (aprēķiniet 1%) un reiziniet ar X(mēs aprēķinām X%). Mēs iegūstam 1.2 X.

Sapratīsim rezultātu.

X procentiem no 120 cilvēkiem tas ir 1,2 X Cilvēks . Un mums ir trīs tādi cilvēki. Atliek pielīdzināt:

Mēs atceramies, ka X mēs ņēmām procentu skaitu. Tas nozīmē, ka 3 cilvēki no 120 cilvēkiem ir 2,5%.

Tas ir viss.

To var darīt savādāk. To var izdarīt ar vienkāršu atjautību, bez vienādojumiem. Padomāsim , cik reižu 3 cilvēki mazāk par 120? Sadaliet 120 ar 3 un iegūstiet 40. Tas nozīmē, ka 3 ir 40 reizes mazāks par 120.

Nepieciešamais cilvēku skaits procentos būs tikpat daudz reižu mazāk nekā 100%. Galu galā 120 cilvēki ir 100%. Sadaliet 100 ar 40, 100/40 = 2,5

Tas ir viss. Mēs saņēmām 2,5%.

Ir arī proporciju metode, taču tā saīsinātā versijā būtībā ir viena un tā pati. Visas šīs metodes ir pareizas. Kas jums ir ērtāk, pazīstamāk un saprotamāk – uzskatiet to tieši tā.

Mēs atkal trenējamies.

Aprēķiniet procentus:
3 cilvēki no 12.
10 rubļi no 800.
4 mācību grāmatas no 160 grāmatām.
24 pareizās atbildes uz 32 jautājumiem.
2 uzminētas atbildes uz 32 jautājumiem.
9 sitieni no 10 metieniem.

Atbildes (secībā): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

Aprēķinu procesā jūs varat saskarties ar frakcijām. Tostarp neērtos, piemēram, 1.333333... Kurš tev lika izmantot kalkulatoru? Tu pats? Nav vajadzības. Skaitīt bez kalkulatora , kā rakstīts tēmā “Daļskaitļi”. Ir visādi procenti...

Tātad esam apguvuši pāreju no daudzumiem uz procentiem un atpakaļ. Jūs varat uzņemties uzdevumus.

Problēmas, kas saistītas ar procentiem.

Problēmas, kas saistītas ar procentiem, ir ļoti populāras vienotajā valsts eksāmenā. No vienkāršākā līdz sarežģītākajam. Šajā sadaļā mēs strādājam ar vienkāršiem uzdevumiem. Vienkāršos uzdevumos, kā likums, ir jāpāriet no procentiem uz uzdevumā apspriestajiem daudzumiem. Uz rubļiem, kilogramiem, sekundēm, metriem utt. Vai arī otrādi. Mēs jau zinām, kā to izdarīt. Pēc tam problēma kļūst skaidra un viegli atrisināma. Netici man? Paskaties pats.
Lai mums ir šāda problēma.

“Brauciens autobusā maksā 14 rubļus. Skolēnu brīvlaikā skolēniem tika ieviesta 25% atlaide. Cik maksā brauciens ar autobusu skolēnu brīvlaikā?

Kā izlemt? Ja uzzināsim, cik 25% rubļos- tad nav ko lemt. Atņemsim atlaidi no sākotnējās cenas – un viss!

Bet mēs jau zinām, kā to atpazīt! Cik būs viens procents no 14 rubļiem? Viena simtā daļa. Tas ir, 14/100 = 0,14 rubļi. Un mums tādi procenti ir 25. Tātad 0,14 rubļus reizinām ar 25. Iegūsim 3,5 rubļus. Tas ir viss. Atlaides summu esam noteikuši rubļos, atliek vien noskaidrot jauno braukšanas maksu:

14 – 3,5 = 10,5.

Desmit ar pusi rubļi. Šī ir atbilde.

Tiklīdz pārgājām no procentiem uz rubļiem, viss kļuva vienkārši un skaidri. Šī ir vispārēja pieeja procentuālo problēmu risināšanai.

Ir skaidrs, ka ne visi uzdevumi ir vienlīdz elementāri. Ir sarežģītāki. Tikai padomā! Mēs tos atrisināsim arī tagad. Grūtības ir tādas, ka viss ir otrādi. Mums ir doti daži daudzumi, bet jāatrod procenti. Piemēram, šis uzdevums:

“Iepriekš Vasja pareizi atrisināja divas problēmas no divdesmit. Izpētījis tēmu vienā noderīgā vietnē, Vasja sāka pareizi atrisināt 16 no 20 problēmām. Par cik procentiem Vasja kļuva gudrāka? Mēs uzskatām, ka 20 atrisinātas problēmas ir 100% gudras.

Tā kā jautājums ir par procentiem (nevis rubļiem, kilogramiem, sekundēm utt.), tad pārejam pie procentiem. Noskaidrosim, cik procentu Vasja atrisināja pirms tam saprotot, cik procenti pēc - un tas ir somā!

Mēs skaitām. Divas problēmas no 20 – cik procenti? 2 ir 10 reizes mazāks par 20, vai ne? Tas nozīmē problēmu skaitu procentos būs 10 reizes mazāks par 100%. Tas ir, 100/10 = 10.

10%. Jā, Vasja mazliet izlēma... Vienotajā valsts eksāmenā nav ko darīt. Bet tagad viņš ir kļuvis gudrāks un atrisina 16 problēmas no 20. Aprēķināsim, cik procentu tas būs? Cik reizes 16 ir mazāks par 20? Jūs nevarat pateikt no rokām... Jums tas būs jāsadala.

5/4 reizes. Nu, tagad mēs sadalām 100 ar 5/4:

Šeit. 80% jau ir ciets. Un pats galvenais - debesis ir robeža!

Bet tā vēl nav atbilde! Mēs vēlreiz pārlasām problēmu, lai nepieļautu kļūdu no zila gaisa. Jā, viņi mums jautā cik ilgi Vai Vasja ir kļuvusi par procentu gudrāka? Nu, tas ir vienkārši. 80% - 10% = 70%. Par 70%.

70% ir pareizā atbilde.

Kā redzat, vienkāršās problēmās pietiek pārvērst dotās vērtības procentos vai dotos procentus vērtībās, un viss kļūst skaidrāks. Ir skaidrs, ka problēma var ietvert papildu zvaniņus un svilpes. Kam bieži vien nav nekāda sakara ar procentiem. Šeit galvenais ir rūpīgi izlasīt nosacījumu un soli pa solim lēnām izvērst problēmu. Par to mēs runāsim nākamajā tēmā.

Bet ir viens nopietns slazds problēmās, kas saistītas ar procentiem! Daudzi tajā iekrīt, jā... Šis slazds izskatās diezgan nevainīgs. Piemēram, šeit ir problēma.

“Skaista klade vasarā maksāja 40 rubļus. Pirms mācību gada sākuma pārdevējs pacēla cenu par 25%. Tomēr piezīmju grāmatiņas sāka pārdot tik slikti, ka viņš samazināja cenu par 10%. Viņi joprojām to neņem! Viņam bija jāsamazina cena vēl par 15%. Šeit sākās tirdzniecība! Kāda bija piezīmju grāmatiņas galīgā cena?

Nu kā? Elementāri?

Ja jūs ātri un priecīgi atbildējāt “40 rubļi!”, tad jūs nokļuvāt slazdā...

Viltība ir tāda, ka procenti vienmēr tiek aprēķināti no kaut ko .

Tātad mēs rēķināmies. Cik ilgi rubļi vai pārdevējs uzpūta cenu? 25% no 40 rubļiem - tie ir 10 rubļi. Tas ir, piezīmjdators, kas kļuvis dārgāks, tagad maksā 50 rubļus. Tas ir saprotams, vai ne?

Un tagad mums ir jāsamazina cena par 10% no 50 rubļiem. No 50, nevis 40! 10% no 50 rubļiem ir 5 rubļi. Līdz ar to pēc pirmās cenas samazinājuma piezīmju grāmatiņa sāka maksāt 45 rubļus.

Mēs apsveram otro cenas samazinājumu. 15% no 45 rubļiem ( no 45, nevis 40 vai 50! ) ir 6,75 rubļi. Tāpēc piezīmjdatora galīgā cena ir:

45 – 6,75 = 38,25 rubļi.

Kā redzams, āķis ir tajā, ka procentus aprēķina katru reizi no jaunās cenas. No pēdējās. Tas notiek gandrīz vienmēr. Ja uzdevumā par vērtības secīgu palielināšanu-samazināšanu tas nav norādīts vienkāršā tekstā, no kā Lai skaitītu procentus, tie jāskaita no pēdējās vērtības. Un tā ir taisnība. Kā pārdevējs zina, cik reižu šis piezīmju grāmatiņa ir cēlusies un pazeminājusi cenu pirms viņa un cik tas maksāja pašā sākumā...

Starp citu, tagad jūs, iespējams, domājat, kāpēc pēdējā frāze ir ierakstīta problēmā par gudro Vasju? Šis: " Vai mēs uzskatām, ka 20 atrisinātas problēmas ir 100% gudras?Šķiet, ka viss ir skaidrs... Uh-u... Kā teikt. Ja šīs frāzes nav, Vasja savus sākotnējos panākumus var uzskatīt par 100%. Tas ir, divas atrisinātas problēmas. Un 16 uzdevumi ir astoņas reizes vairāk. Tie. 800%! Vasja pilnīgi pamatoti var runāt par savu gudrību pat par 700%!

Varat arī veikt 16 uzdevumus par 100%. Un saņemiet jaunu atbildi. Pareizi arī...

Līdz ar to secinājums: Pats svarīgākais uzdevumos, kas saistīti ar procentiem, ir skaidri noteikt, no kā jāaprēķina viens vai otrs procents.

Starp citu, tas ir nepieciešams arī dzīvē. Kur tiek izmantoti procenti. Veikalos, bankās, visādās akcijās. Pretējā gadījumā jūs gaidāt 70% atlaidi, bet jūs saņemat 7%. Un nevis atlaides, bet sadārdzinājumi... Un viss ir godīgi, es pats nepareizi aprēķināju.

Nu, jums ir priekšstats par procentiem matemātikā. Atzīmēsim vissvarīgāko.

Praktiski padomi:

1. Procentuālos uzdevumos mēs pārejam no procentiem uz konkrētiem daudzumiem. Vai, ja nepieciešams, no konkrētām vērtībām uz procentiem. Uzmanīgi izlasiet uzdevumu!

2. Mēs ļoti rūpīgi mācāmies, no kā jārēķina procenti. Ja tas nav tieši pateikts, tas noteikti ir netieši. Secīgi mainot vērtību, tiek pieņemti procenti no pēdējās vērtības. Uzmanīgi izlasi uzdevumu!

3. Kad problēma ir atrisināta, izlasiet to vēlreiz. Pilnīgi iespējams, ka esat atradis starpatbildi, nevis galīgo. Uzmanīgi izlasi uzdevumu!

Atrisiniet vairākas problēmas, kas saistītas ar procentiem. Konsolidēt, tā teikt. Šajās mīklās mēģināju apkopot visas galvenās grūtības, kas sagaida risinātājus. Tie grābeklis, uz kuriem visbiežāk uzkāpj. Šeit tie ir:

1. Elementāra loģika vienkāršu uzdevumu analīzē.

2. Pareiza vērtības izvēle, no kuras aprēķināt procentus. Cik daudz cilvēku ir paklupuši par to! Bet ir ļoti vienkāršs noteikums...

3. Procenti par procentiem. Tas ir sīkums, bet tas ir patiešām kaitinoši...

4. Un vēl dakša. Attiecības starp procentiem un daļdaļām un daļām. Tulkojot tos savā starpā.

“Matemātikas olimpiādē piedalījās 50 cilvēki. 68% skolēnu atrisināja maz problēmu. 75% no pārējiem atrisināja mērenas problēmas, bet pārējie atrisināja daudzas problēmas. Cik cilvēku ir atrisinājuši daudzas problēmas?

Padoms. Ja jūs saņemat daļējus studentus, tas ir nepareizi. Uzmanīgi izlasi problēmu, tur ir viens svarīgs vārds... Vēl viena problēma:

“Vasja (jā, tā pati!) ļoti mīl virtuļus ar ievārījumu. Kuras tiek ceptas maizes ceptuvē, vienas pieturas attālumā no mājām. Donuts maksā 15 rubļus gabalā. Kam bija pieejami 43 rubļi, Vasja ar autobusu devās uz maizes ceptuvi par 13 rubļiem. Un maizes ceptuvē bija akcija “Atlaide visam - 30%!!!”. Jautājums: cik papildu virtuļus Vasja nevarēja nopirkt sava slinkuma dēļ (viņš varēja doties pastaigā, vai ne?).

Īsas problēmas.

Cik procenti ir 4 mazāki par 5?

Cik procentu 5 ir lielāks par 4?

Garš uzdevums...

Koļa ieguva vienkāršu darbu, kas saistīts ar procentu aprēķināšanu. Intervijas laikā priekšnieks ar viltīgu smaidu Koļam piedāvāja divus atalgojuma variantus. Saskaņā ar pirmo variantu Koļai nekavējoties tika piešķirta likme 15 000 rubļu mēnesī. Saskaņā ar otro Koļu, ja viņš piekrīt, pirmos 2 mēnešus viņš maksās algu, kas samazināta par 50%. Kaut kā iesācējs. Bet tad paaugstinās viņam samazināto algu pat par 80%!

Koļa apmeklēja kādu noderīgu vietni internetā... Tāpēc, sešas sekundes padomājis, viņš ar vieglu smaidu izvēlējās pirmo variantu. Priekšnieks pasmaidīja un noteica Koļai pastāvīgu algu 17 000 rubļu.

Jautājums: Cik daudz naudas gadā (tūkstošos rubļu) Kolja ieguva šajā intervijā? Salīdzinot ar sliktāko variantu? Un vēl viena lieta: kāpēc viņi visu laiku smaidīja!?)

Vēl viena īsa problēma.

Atrodiet 20% no 50%.

Un atkal ilgi.)

Ātrvilciens Nr.205 "Krasnojarska - Anapa" apstājās stacijā "Syzran-Gorod". Vasīlijs un Kirils devās uz stacijas veikalu pēc saldējuma Ļenai un hamburgera sev. Kad viņi nopirka visu nepieciešamo, veikala apkopēja teica, ka viņu vilciens jau aizgājis... Vasilijs un Kirils ātri skrēja un paspēja ielēkt vagonā. Jautājums: vai šādos apstākļos pasaules čempionam skrējējam būtu laiks ielēkt pajūgā?
Mēs uzskatām, ka normālos apstākļos pasaules čempions skrien par 30% ātrāk nekā Vasīlijs un Kirils. Taču vēlme paspēt līdz karietei (tā bija pēdējā), pacienāt Ļenu ar saldējumu un apēst hamburgeru, viņu ātrumu palielināja par 20%. Un saldējums ar hamburgeru čempiona rokās un flipflops kājās samazinātu viņa ātrumu par 10%...

Bet šeit ir problēma bez procentiem... Interesanti, kāpēc tā ir šeit?)

Nosakiet, cik 3/4 no ābola sver, ja viss ābols sver 200 gramus?

Un pēdējais.

Ātrvilcienā Nr.205 "Krasnojarska - Anapa" ceļabiedri risināja krustvārdu mīklu. Ļena uzminēja 2/5 no visiem vārdiem, bet Vasilijs uzminēja vienu trešdaļu no atlikušajiem. Tad Kirils pievienojās un atrisināja 30% no visas krustvārdu mīklas! Seryozha uzminēja pēdējos 5 vārdus. Cik vārdu bija scanword? Vai tā ir taisnība, ka Ļena uzminēja visvairāk vārdu?

Atbildes ir tradicionālajā nekārtībā un bez vienību nosaukumiem. Kur virtuļi, kur studenti, kur rubļi ar procentiem - tas esi tu...

10; 50; Jā; 4; 20; Nē; 54; 2; 25; 150.

Kā tad ir? Ja viss sanāk - apsveicu! Interese nav jūsu problēma. Jūs varat droši doties uz darbu bankā.)

Vai kaut kas nav kārtībā? Nestrādā? Vai nezināt, kā ātri aprēķināt skaitļa procentus? Vai nezināt ļoti vienkāršus un skaidrus noteikumus? No kā rēķināt procentus, piemēram? Vai arī kā pārvērst daļskaitļus procentos?

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Procentu jēdzienam ir plašs praktisks pielietojums, tāpēc tā ir obligāta skolas matemātikas mācību programmas sastāvdaļa. Studentiem jāiemācās atrisināt pamatproblēmas, kas saistītas ar procentiem, un attēlot tās kā decimāldaļas un parastās daļskaitļus.

Tradicionāli tēma “Procenti” tiek apgūta vidusskolas pamatklasēs. Šīs tēmas izpētei ir vairākas pieejas.

Pirmā pieeja. Procenti tiek apspriesti kā atsevišķa tēma, nepaļaujoties uz daļskaitļiem. Dažu procentu atrašana no skaitļa tiek veikta divos posmos. Daļskaitļu izpēte ir atsevišķa tēma, daudz vēlāk nekā procentu problēmas. Tādējādi apmācība no specifiskā virzās uz vispārīgo, kas ir mazāk efektīva un sniedz mazāk iespēju skolēna attīstībai.

Otrā pieeja. Procentuālie uzdevumi tiek apgūti kā īpašs daļskaitļu uzdevumu gadījums un uz tiem tiek pārnesti visi risināšanas paņēmieni, tas ir, pētījums virzās no vispārējā gadījuma - daļskaitļu uzdevumiem - uz konkrēto. Lielākā daļa mūsdienu mācību grāmatu īsteno otro pieeju.

Ļaujiet mums sīkāk apsvērt šīs tēmas izpēti dažās mūsdienu mācību grāmatās, ko Krievijas Izglītības ministrija ieteica 2003./2004. akadēmiskais gads matemātikas mācīšanai pamatskolās.

Saskaņā ar mācību grāmatām tēmu “Procenti” apgūst V klasē. Pirms jēdziena “procenti” ieviešanas autors iesaka apsvērt piemērus:

“Simtā centendaļa tiek saukta par kilogramu, simtdaļa no metra ir centimetrs, simtdaļa hektāra ir akrs. Jebkura daudzuma simtdaļu pieņemts saukt par procentu.

Tiek aplūkotas trīs galvenās problēmas, kas saistītas ar procentiem:

Formas problēma K1.

1. piemērs: Strādnieku komanda dienas laikā salaboja 40% ceļa 120 m garumā. Cik metru ceļa komanda salaboja dienā?

120 m ir 100%

1) 120:100 =1,2 m ir 1%.

2) m salaboja komanda dienas laikā.

Atbilde: Dienas laikā brigāde salaboja 48 m ceļa.

Formas problēma K2.

2. piemērs: skolēns izlasīja 72 lappuses, kas ir 30% no kopējā grāmatas lappušu skaita. Cik lappušu ir grāmatā?

Nezināms skaitlis - 100%.

1) 72:30=2,4 lapas ir 1%.

2) lapas ir 100%.

Atbilde: Grāmatā ir 240 lappuses.

Formas problēma P1.

3. piemērs: 40 skolēnu klasē 32 pareizi atrisināja uzdevumu. Cik procenti skolēnu pareizi atrisināja uzdevumu?

40 skolēni veido 100%.

1) 40:100=0,4 ir 1%.

2) 32:0,4=80; 32 skolēni veido 80%.

Atbilde: 80% skolēnu pareizi atrisināja uzdevumu.

Tomēr šāda veida problēmas netiek izdalītas, jo samazināšanas metode līdz vienotībai tiek pieņemta kā galvenā problēmu risināšanas metode, kas saistīta ar procentiem. Tam ir noteiktas priekšrocības:

a) vieglāk veikt aprēķinus;

b) pieradina skolēnus izcelt skaitli, kas pieņemts kā 100%;

c) prasa atbilstošu argumentāciju konkrētas problēmas risināšanas procesā, kas neietver noteikumu iegaumēšanu viena vai cita veida problēmu risināšanai, kas saistīta ar procentiem.

Mācību grāmata ietver dažu procentuālo problēmu risināšanu, izmantojot vienādojumus. Šis ieteikums būtībā attiecas uz divu veidu problēmām: skaitļa atrašanu no noteikta procentuālā skaitļa un divu skaitļu procentuālās daļas atrašanu. Piektajā klasē matemātikas mācīšanas pieredze liecina, ka audzēkņi sastopas ar zināmām grūtībām, risinot uzdevumus ar procentiem, kas galvenokārt ir saistīts ar skolēnu neinformētību par samazināšanas metodi. Tāpēc šīs metodes būtības praktizēšana divos posmos ir ļoti svarīga, lai iemācītos atrisināt problēmas, kas saistītas ar procentiem, īpaši zināšanu apguves sākumposmā. 2. un 3. piemērā aplūkotās problēmas var atrisināt, izmantojot vienādojumus. V klasē uzdevumu risināšana, izmantojot vienādojumus, skolēniem rada ievērojamas grūtības.

Šī tēma ir viena no pēdējām V klases kursā. Turklāt autori īpaši neatgriežas pie tēmas. Tas nav īpaši veiksmīgs, jo tēma ir objektīvi sarežģīta.

Nedaudz savādāka pieeja šai tēmai mācību grāmatās. Procentu apgūšana sākas V klases beigās. Autori procentus definē kā citu simtdaļas nosaukumu. “Mēs zinām, ka vienu sekundi citādi sauc par pusi, vienu ceturtdaļu ir ceturtdaļa, trīs ceturtdaļas ir trīs ceturtdaļas. Simtdaļai ir arī īpašs nosaukums: vienu simtdaļu sauc par procentu. Studenti apsver tikai divu veidu problēmas:

Formas problēma K1.

4. piemērs. Skolā mācās 800 skolēnu, no kuriem 15% ceturkšņa laikā ieguva A atzīmi matemātikā. Cik skolēnu matemātikā ieguva A?

Vispirms atradīsim vienu procentu jeb simto daļu no skaitļa pašreizējās.

800: 100=8.

Lai atrastu 15%, jums jāreizina:

Atbilde: 120 skolēni saņēma A.

Liela uzmanība tiek pievērsta saiknei starp daļskaitļiem (decimāldaļas un parasto) un procentiem.

Formas problēma P1.

5. piemērs. Cik procenti no 1 m ir 1 cm, 9 cm, 0,15 m?

VI klasē autori atkal atgriežas pie šīs tēmas. Skolēni atkārto V klasē apgūto materiālu, tiek apskatītas jaunas problēmas. Tajā pašā laikā katram problēmas veidam tiek uzzīmēta analoģija ar darbībām ar decimāldaļām un parastajām daļskaitļiem, un tiek formulēts noteikums:

Formas problēmai K1.

2) reizināt dotais numurs uz šo daļu"

Un arī formas problēmai K2.

“1) izteikt procentus kā parastās vai decimāldaļas;

2) izdaliet šo skaitli ar šo daļskaitli"

Piemērs 6. Par pārbaude Matemātikā vērtējumu “4” saņēma 9 skolēni. Tas ir 36% no visiem klases skolēniem. Cik skolēnu ir klasē?

Izteiksim procentus kā parasto vai decimāldaļskaitli: 36%= =0,36.

Izmantosim noteikumu, lai atrastu skaitli pēc tā daļskaitļa:

9:==25 vai 9:0,36=25

Atbilde: Klasē bija 25 skolēni.

Pirmkārt, studenti uzskata divu skaitļu koeficienta izteiksmi procentos: "lai izteiktu koeficientu procentos, jums šis koeficients jāreizina ar 100 un iegūtajam reizinājumam jāpievieno procentu zīme."

Tikai pēc tam viņi pāriet uz problēmas risināšanu. P1.

"Šim nolūkam jums ir nepieciešams

1) pirmo skaitli dala ar otro;

2) izsaka iegūto koeficientu procentos"

7. piemērs. Klasē ir 25 skolēni, no kuriem 20 ir pionieri. Cik procenti ir pionieri?

Lai atrisinātu, jums ir jāizsaka koeficients procentos. =0,8=80%.

Atbilde: Pionieri veido 80%.

Tēmas beigās tiek apskatīta formas problēma P2 Un P3.

“... lai uzzinātu, par cik procentiem noteiktā vērtība palielinājās vai samazinājās, jāatrod:

1) par cik vienībām šī vērtība palielinājās vai samazinājās;

2) cik procentu ir iegūtā atšķirība no daudzuma sākotnējās vērtības?

Piemērs 8. Pirms cenas pazemināšanas ledusskapis maksāja 250 rubļus, pēc samazinājuma - 230 rubļus. Par cik procentiem samazinājās ledusskapja izmaksas?

Noskaidrosim, cik rubļu ir mainījusies ledusskapja cena: 250-230 = 20 rubļi.

Atradīsim procentuālo daļu no iegūtās starpības no ledusskapja sākotnējām izmaksām: =0,08=8%

Atbilde: ledusskapja izmaksas samazinājās par 8%.

Noteikumi ierobežo studentus un neļauj viņiem spriest par risinājumu. Tāpēc katra procentuālā problēma kļūst par algoritmu un rada grūtības, ja noteikums tiek aizmirsts. Problēmu risināšana iekšā šis kurss aritmētika. Vienādojumu izmantošana risināšanā sākas tikai gada beigās tikai sarežģītās problēmās. Tāpēc ne katrs students varēs apgūt šo prasmi. Tāpēc, apgūstot vienādojumus, ir jāiekļauj procentuālās problēmas.

Mācību grāmatās procentu jēdziens tiek apgūts arī V klases beigās. Pirms definīcijas ieviešanas tiek apskatīti jēdziena “procenti” lietojuma piemēri:

“Sēklu dīgtspēja ir 98 procenti; Krievijas prezidenta vēlēšanās piedalījās 65 procenti vēlētāju..." Procenti tiek definēti kā simtdaļu apzīmējums. V klasē autori aplūko tikai divu veidu problēmas: formas problēmas K1 Un K2. Šīs problēmas tiek atrisinātas, izmantojot aritmētisko metodi. Liela uzmanība tiek pievērsta jautājumam, kādu vērtību uzskatīt par 100%.

Tālāk VI klasē tiek apgūta tēma “Procenti”. Šeit tiek aplūkotas viena veida problēmas, taču risinājums tiek veikts algebriskā veidā (sacerēšana lineārie vienādojumi). Autori formulē noteikumus, kā atrast daļu no veseluma un veselu no tās daļas:

“1) lai atrastu veseluma daļu, veselais (tam atbilstošais skaitlis) jāreizina ar daļskaitli (atbilst šai daļai);

2) lai no tās daļas atrastu veselumu, daļa (šai daļai atbilstošs skaitlis) jāsadala ar tai atbilstošo daļu.

Pēc tam tēma netiek izskatīta.

Nedaudz cita pieeja mācību grāmatās. Procentus sāk pētīt VI klases sākumā. Procentuālais jēdziens tiek ieviests kā viena simtdaļa no skaitļa (daudzums). Tiek ņemti vērā trīs problēmu veidi:

a) noteiktā skaitļa procentuālās daļas atrašana K1.

Pirmkārt, mēs apsveram iespēju atrast 1% no dotā skaitļa. Tad - patvaļīga procentu skaita atrašana.

b) skaitļa atrašana no noteikta tā procentuālā skaitļa K2.

Tajā arī vispirms tiek apspriests, kā atrast skaitu, no kuriem 1% ir zināms. Pēc tam šī problēma tiek apsvērta jebkuram patvaļīgam procentu skaitam.

c) divu skaitļu procentuālās attiecības atrašana P1. Autori formulē noteikumu “Lai izteiktu divu skaitļu attiecību procentos, šo attiecību var reizināt ar 100”

Visi trīs problēmu veidi vispirms tiek atrisināti aritmētiskā veidā, un pēc tam tie tiek atrisināti, pamatojoties uz proporcionalitātes īpašībām.

9. piemērs. Atrodiet 8% no 35.

Risinājums: lai x ir nepieciešamais skaitlis, tad:

Atbilde: 2

Tiek aplūkotas arī problēmas, kurās nepieciešams palielināt (samazināt) skaitli par noteiktu procentuālo skaitu. K3 Un K4. Procenti tiek izmantoti arī, pētot diagrammas.

10. piemērs.

Preces cena tika paaugstināta par 10%, tad vēl par 10%. Par cik procentiem preces cena pieauga divas reizes?

Šeit tiek aplūkotas arī problēmas, kas saistītas ar maisījumiem un sakausējumiem (šī rindkopa ir atzīmēta kā paaugstinātas grūtības rindkopa). Man šķiet, ka šāda veida problēmas sestās klases skolēniem ir sarežģītas. Tāpēc ne katrs skolotājs vēlēsies izskatīt šādas sarežģītas problēmas ar visu klasi, un ļoti svarīgs problēmu slānis paliks neizskatīts. Bet tie ir ļoti svarīgi uzdevumi, kuriem vajadzētu pievērst pienācīgu uzmanību, iespējams, jau lielākā vecumā.

Šajā komplektā galvenā uzmanība ir pievērsta arī kalkulatora izmantošanai, lai atrisinātu procentuālās problēmas. Šim jautājumam ir veltīta atsevišķa rindkopa un ir izstrādāta vingrinājumu sistēma.

Vidusskolā procentu tēma tiek uzskatīta par daļu no atkārtošanas uzdevumiem un paaugstinātas grūtības pakāpes problēmām. Vidusskolā darbības ar procentiem kļūst par ķīmijas prerogatīvu, kas ievieš savu skatījumu uz procentiem. Tāpēc jautājumi par procentu universālumu un to piemērošanas jomu daudzveidību studentiem pamazām aizmirst.

Mēs parādīsim, kā tiek piedāvāts izpētīt šo materiālu mācību komplektos matemātikā V-VI klasei, red. G.V. Dorofejeva un I.F. Sharygin un VII - IX klasei, ed. G.V. Dorofejeva.

Pirmkārt, jāatzīmē, ka, prezentējot tēmu “Interese”, tiek īstenotas daudzas vispārīgas, kursam kopumā raksturīgas metodoloģiskās iezīmes. Tēma izvēršas spirālē un tiek pētīta vairākos posmos no VI līdz IX klasei ieskaitot. Ar katru pielaidi skolēni atgriežas pie procentiem jaunā līmenī, tiek papildinātas zināšanas, tiek pievienoti jauni problēmu un risinājumu veidi. Šāda atkārtota atsauce uz jēdzienu noved pie tā, ka tā pakāpeniski tiek stingri un apzināti asimilēta. Kļūst iespējams iekļaut uzdevumus, kurus šobrīd nevar aplūkot esošajās mācību grāmatās vienkārši tāpēc vecuma īpašības skolas bērni.

Ar procentiem saistītie jautājumi padara kursu praktiski orientētu, parādot studentiem, ka iegūtās matemātiskās zināšanas tiek pielietotas ikdienā. Interesi lielā mērā veicina arī uzdevumu saturs, kuru sižeti ir tuvi mūsdienu tēmām un bērnu, bet pēc tam pusaudžu dzīves pieredzei. Tas kalpo kā diezgan spēcīgs motīvs piedāvāto problēmu risināšanai.

Procentu ieviešana balstās uz skolēnu mācību priekšmetu-praktiskajām aktivitātēm, uz ģeometrisko skaidrību un ģeometrisko modelēšanu. Zīmējumi un rasējumi tiek plaši izmantoti, lai palīdzētu izprast problēmu un redzētu ceļu uz risinājumu.

Tāpat kā visās galvenajās kursa sadaļās, prezentējot šo tēmu, tiek īstenotas plašas iespējas studentiem diferencēti mācīties. Uzdevumi tiek piedāvāti visdažādākajās grūtības pakāpēs – no pamata līdz diezgan grūtiem. Skolotājs var izvēlēties materiālu, kas atbilst katra skolēna iespējām.

Mācoties risināt problēmas, kas saistītas ar procentiem, skolēni iepazīstas ar Dažādi ceļi problēmu risināšanā, un daudzas metodes ir plašākas nekā parasti. Students apgūst dažādus argumentācijas veidus, bagātinot savu paņēmienu un metožu arsenālu. Taču tajā pašā laikā svarīgi ir arī tas, ka viņam ir iespēja izvēlēties un var izmantot tehniku, kas viņam šķiet ērtāka.

Turpinām pētīt matemātikas elementāras problēmas. Šī nodarbība ir par procentu problēmām. Apskatīsim vairākas problēmas, kā arī skarsim tos punktus, kurus iepriekš neminējām, pētot procentus, ņemot vērā, ka sākumā tie rada grūtības mācībās.

Lielākā daļa problēmu, kas saistītas ar procentiem, ir saistītas ar skaitļa procentuālās daļas atrašanu, skaitļa atrašanu procentos, kādas daļas izteikšanu procentos vai attiecību izteikšanu starp vairākiem objektiem, skaitļiem, daudzumiem procentos.

Metodes procentu noteikšanai

Procentus var atrast Dažādi ceļi. Vispopulārākais veids ir dalīt skaitli ar 100 un reizināt rezultātu ar vēlamo procentuālo daļu.

Piemēram, lai atrastu 60% no 200 rubļiem, vispirms šie 200 rubļi jāsadala simts vienādās daļās:

200 rubļi: 100 = 2 rubļi.

Dalot skaitli ar 100, mēs atrodam vienu procentu no šī skaitļa. Tātad, sadalot 200 rubļus 100 daļās, mēs automātiski atradām 1% no divsimt rubļu, tas ir, mēs uzzinājām, cik rubļu ir vienai daļai. Kā redzams no piemēra, viena daļa (viens procents) ir 2 rubļi.

1% no 200 rubļiem - 2 rubļi

Zinot, cik rubļu ir vienā daļā (1%), jūs varat uzzināt, cik rubļu ir divās daļās, trīs, četri, pieci utt. Tas ir, jūs varat atrast jebkuru procentu skaitu. Lai to izdarītu, vienkārši reiziniet šos 2 rubļus ar nepieciešamo daļu skaitu (procentos). Atradīsim sešdesmit gabalus (60%)

2 rubļi × 60 = 120 rubļi.

2 rubļi × 5 = 10 rubļi.

Atradīsim 90%

2 rubļi × 90 = 180 rubļi.

Mēs atradīsim 100%

2 rubļi × 100 = 200 rubļi.

100% ir visas simts daļas, un tās veido visus 200 rubļus.

Otrs veids ir attēlot procentuālo daļu kā parastu daļskaitli un atrast šo daļu no skaitļa, no kura vēlaties atrast procentuālo daļu.

Piemēram, atradīsim tos pašus 60% no 200 rubļiem. Pirmkārt, attēlosim 60% kā daļu. 60% ir sešdesmit daļas no simts, tas ir, sešdesmit simtdaļas:

Tagad uzdevumu var saprast kā « atrast no 200rubļi" . Tas ir tas, ko mēs pētījām iepriekš. Atgādināsim, ka, lai atrastu skaitļa daļu, šis skaitlis jādala ar daļdaļas saucēju un iegūtais rezultāts jāreizina ar daļskaitļa skaitītāju

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

Vai arī reiziniet skaitli ar daļskaitli ():

Trešais veids ir attēlot procentus kā decimāldaļu un reizināt skaitli ar decimāldaļu.

Piemēram, atradīsim tos pašus 60% no 200 rubļiem. Lai sāktu, norādiet 60% kā daļu. 60% procenti ir sešdesmit daļas no simts

Veiksim dalīšanu šajā daļā. Pārvietosim decimālzīmi skaitļā 60 par diviem cipariem pa kreisi:

Tagad mēs atrodam 0,60 no 200 rubļiem. Lai atrastu skaitļa decimāldaļu, šis skaitlis jāreizina ar decimāldaļu:

200 × 0,60 = 120 rub.

Iepriekš minētā procentuālās daļas noteikšanas metode ir visērtākā, it īpaši, ja cilvēks ir pieradis lietot kalkulatoru. Šī metode ļauj atrast procentus vienā solī.

Kā likums, izteikt procentus decimāldaļdaļās nav grūti. Pietiek ar prefiksu “nulle vesels skaitlis”, ja procents ir divciparu skaitlis, vai prefiksu “nulle vesels skaitlis” un vēl vienu nulli, ja procents ir viencipara skaitlis. Piemēri:

60% = 0,60 - pirms skaitļa 60 pievienoti nulle veseli skaitļi, jo skaitlis 60 ir divciparu

6% = 0,06 - pirms skaitļa 6 pievienoti nulle veseli skaitļi un vēl viena nulle, jo skaitlis 6 ir viencipara skaitlis.

Dalot ar 100, mēs izmantojām metodi, lai aiz komata pārvietotu divus ciparus pa kreisi. Atbildē 0.60 tika saglabāta nulle aiz skaitļa 6. Bet, ja jūs veicat šo dalījumu ar stūri, nulle pazūd - jūs saņemat atbildi 0,6

Jāatceras, ka decimāldaļas 0,60 un 0,6 ir vienādas ar vienu un to pašu vērtību:

0,60 = 0,6

Tajā pašā "stūrī" jūs varat turpināt sadalīšanu bezgalīgi, katru reizi pievienojot nulli atlikumam, taču tā būs bezjēdzīga darbība:

Jūs varat izteikt procentus kā decimāldaļu ne tikai dalot ar 100, bet arī reizinot. Pats procentuālais simbols (%) aizstāj reizinātāju 0,01. Un, ja ņem vērā, ka procentu skaits un procentu zīme ir rakstīts kopā, tad starp tiem ir “neredzamā” reizināšanas zīme (×).

Tātad 45% ieraksts patiesībā izskatās šādi:

Nomainiet procentu zīmi ar koeficientu 0,01

Šo reizināšanu ar 0,01 veic, pārvietojot decimālzīmi divus ciparus pa kreisi:

1. problēma. Ģimenes budžets ir 75 tūkstoši rubļu mēnesī. No tiem 70% ir tēta nopelnīta nauda. Cik nopelnīja mamma?

Risinājums

Kopā ir 100 procenti.Ja tētis nopelnīja 70% naudas, tad atlikušos 30% nopelnīja mamma.

2. problēma. Ģimenes budžets ir 75 tūkstoši rubļu mēnesī. No tiem 70% ir tēta nopelnītā nauda, ​​bet 30% ir mammas nopelnītā nauda. Cik daudz naudas nopelnīja katrs cilvēks?

Risinājums

Mēs atradīsim 70 un 30 procentus no 75 tūkstošiem rubļu. Tādā veidā mēs noteiksim, cik naudas katrs nopelnījis. Ērtības labad mēs rakstām 70% un 30% kā decimāldaļas:

75 × 0,70 = 52,5 (tētis nopelnīja tūkstošus rubļu)

75 × 0,30 = 22,5 (tūkstoši rubļu, ko nopelnījusi māte)

Pārbaude

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Atbilde: 52,5 tūkstoši rubļu. Tētis nopelnīja 22,5 rubļus. Mamma pelnīja naudu.

3. problēma. Atdzesējot, maize ūdens iztvaikošanas rezultātā zaudē līdz 4% no savas masas. Cik kilogramu iztvaiko, kad atdziest 12 tonnas maizes?

Risinājums

Pārrēķināsim 12 tonnas kilogramos. Viena tonna satur tūkstoš kilogramu, bet 12 tonnas satur 12 reizes vairāk:

1000 × 12 = 12 000 kg

Tagad atradīsim 4% no 12000. Iegūtais rezultāts būs atbilde uz problēmu:

12 000 × 0,04 = 480 kg

Atbilde: Kad 12 tonnas maizes atdziest, iztvaikos 480 kilogrami.

4. problēma. Žāvēti āboli zaudē 84% no savas masas. Cik kaltētu ābolu iegūsi no 300 kg svaigu?

Atradīsim 84% no 300 kg

300: 100 × 84 = 252 kg

300 kg svaigu ābolu kaltēšanas rezultātā zaudēs 252 kg savas masas. Lai atbildētu uz jautājumu, cik žāvētu ābolu iegūsit, no 300 jāatņem 252

300 - 252 = 48 kg

Atbilde: no 300 kg svaigu ābolu iegūsi 48 kg kaltētu.

5. problēma. Sojas pupu sēklas satur 20% eļļas. Cik daudz eļļas ir 700 kg sojas pupiņu?

Risinājums

Atradīsim 20% no 700 kg

700 × 0,20 = 140 kg

Atbilde: 700 kg sojas pupiņu satur 140 kg eļļas

6. problēma. Griķi satur 10% olbaltumvielu, 2,5% tauku un 60% ogļhidrātu. Cik no šiem produktiem ir 14,4 kg griķu?

Risinājums

Pārrēķināsim 14,4 centnerus kilogramos. Vienā centnerā ir 100 kilogrami, 14,4 centneros 14,4 reizes vairāk

100 × 14,4 = 1440 kg

Atradīsim 10%, 2,5% un 60% no 1440 kg

1440 × 0,10 = 144 (kg olbaltumvielu)

1440 × 0,025 = 36 (kg tauku)

1440 × 0,60 = 864 (kg ogļhidrātu)

Atbilde: 14,4 kg griķu satur 144 kg olbaltumvielu, 36 kg tauku, 864 kg ogļhidrātu.

7. problēma. Kokaudzētavai skolēni savāca 60 kg ozolu, akāciju, liepu un kļavu sēklu. Zīles veidoja 60%, kļavu sēklas 15%, liepu sēklas 20% no visām sēklām, bet pārējās bija akācijas sēklas. Cik kilogramus akācijas sēklu savāca skolēni?

Risinājums

Ņemsim par 100% ozola, akācijas, liepas un kļavas sēklas. Atņemsim no šiem 100% procentus, kas izsaka ozola, liepas un kļavas sēklas. Tādā veidā mēs uzzinām, cik procentuāli ir akācijas sēklas:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Tagad mēs atrodam akācijas sēklas:

60 × 0,05 = 3 kg

Atbilde: Skolēni savāca 3 kg akācijas sēklu.

Pārbaude:

60 × 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 × 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

8. problēma. Kāds vīrietis nopirka pārtikas preces. Piens maksā 60 rubļus, kas ir 48% no visu pirkumu izmaksām. Nosakiet kopējo naudas summu, kas iztērēta pārtikas precēm.

Risinājums

Tas ir uzdevums atrast skaitli pēc tā procentiem, tas ir, pēc zināmās daļas. Šo problēmu var atrisināt divos veidos. Pirmais ir izteikt zināmu procentu skaitu kā decimālo daļu un atrast nezināmo skaitli no šīs daļdaļas

Izsakiet 48% kā decimāldaļu

48% : 100 = 0,48

Zinot, ka 0,48 ir 60 rubļi, varam noteikt visu pirkumu summu. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod nezināmais skaitlis pēc decimāldaļskaitļa:

60: 0,48 = 125 rubļi

Tas nozīmē, ka kopējā naudas summa, kas iztērēta pārtikas precēm, ir 125 rubļi.

Otrs veids ir vispirms noskaidrot, cik daudz naudas ir uz vienu procentu, pēc tam rezultātu reiziniet ar 100

48% ir 60 rubļi. Ja dalīsim 60 rubļus ar 48, mēs uzzināsim, cik rubļu veido 1%.

60: 48% = 1,25 rubļi

1% veido 1,25 rubļus. Kopā ir 100 procenti.Ja 1,25 rubļus reizinām ar 100, mēs iegūstam kopējo naudas summu, kas iztērēta produktiem

1,25 × 100 = 125 rubļi

9. problēma. Svaigas plūmes dod 35% žāvētu plūmju. Cik svaigu plūmju vajag, lai iegūtu 140 kg žāvētu plūmju? Cik kaltētu plūmju iegūsi no 600 kg svaigām?

Risinājums

Izteiksim 35% kā decimāldaļskaitli un atradīsim nezināmo skaitli, izmantojot šo daļskaitli:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400 kg

Lai iegūtu 140 kg kaltētu plūmju, jāņem 400 kg svaigu.

Atbildēsim uz otro problēmas jautājumu – cik kaltētu plūmju iegūsi no 600 kg svaigām? Ja no svaigām plūmēm iznāk 35% žāvētu plūmju, tad pietiek atrast šos 35% no 600 kg svaigu plūmju

600 × 0,35 = 210 kg

Atbilde: lai iegūtu 140 kg kaltētu plūmju, jāņem 400 kg svaigas. No 600 kg svaigu plūmju iegūsi 210 kg kaltētu.

10. problēma. Tauku uzsūkšanās cilvēka ķermenī ir 95%. Mēneša laikā students patērēja 1,2 kg tauku. Cik daudz tauku viņa ķermenis var absorbēt?

Risinājums

Pārvērtiet 1,2 kg uz gramiem

1,2 × 1000 = 1200 g

Atradīsim 95% no 1200 g

1200 × 0,95 = 1140 g

Atbilde: skolēna organisms spēj uzņemt 1140 g tauku.

Skaitļu izteikšana procentos

Procentus, kā minēts iepriekš, var izteikt kā decimāldaļskaitli. Lai to izdarītu, vienkārši sadaliet šo procentu skaitu ar 100. Piemēram, iedomājieties 12% kā decimāldaļu:

komentēt. Mēs tagad neatrodam kaut kā procentuālo daļu, bet vienkārši ierakstām to kā decimāldaļskaitli.

Taču ir iespējams arī apgrieztais process. Decimāldaļu var attēlot procentos. Lai to izdarītu, šī daļa jāreizina ar 100 un jāievieto procentu zīme (%)

Decimāldaļu 0,12 attēlosim kā procentus

0,12 × 100 = 12%

Šo darbību sauc izsakot skaitli procentos vai skaitļus izsakot simtdaļās.

Reizināšana un dalīšana ir apgrieztas darbības. Piemēram, ja 2 × 5 = 10, tad 10: 5 = 2

Tādā pašā veidā dalījumu var uzrakstīt apgrieztā secībā. Ja 10: 5 = 2, tad 2 × 5 = 10:

Tas pats notiek, kad decimāldaļu izsakām procentos. Tātad 12% tika izteikti kā decimāldaļa šādi: 12: 100 = 0,12, bet pēc tam tie paši 12% tika “atgriezti”, izmantojot reizināšanu, ierakstot izteiksmi 0,12 × 100 = 12%.

Tāpat jebkurus citus skaitļus, tostarp veselus skaitļus, varat izteikt procentos. Piemēram, izteiksim skaitli 3 procentos. Reiziniet šo skaitli ar 100 un pievienojiet rezultātam procentu zīmi:

3 × 100 = 300%

Lieli procenti, piemēram, 300%, sākumā var radīt neskaidrības, jo cilvēki ir pieraduši domāt par 100% kā maksimālo procentuālo daļu. No papildu informācijas par daļām mēs zinām, ka vienu veselu objektu var apzīmēt ar vienu. Piemēram, ja ir vesela nesagriezta kūka, tad to var apzīmēt ar 1

To pašu kūku var apzīmēt kā 100% kūku. Šajā gadījumā gan viens, gan 100% nozīmēs vienu un to pašu visu kūku:

Pārgriezam kūku uz pusēm. Šajā gadījumā viens kļūs par decimālo skaitli 0,5 (jo tā ir puse no vienības), un 100% kļūs par 50% (jo 50 ir puse no simta)

Mēs atgriezīsim visu kūku, vienu vienību un 100%

Attēlosim vēl divas šādas kūkas ar vienādiem apzīmējumiem:

Ja viena kūka ir vienība, tad trīs kūkas ir trīs vienības. Katra kūka ir 100% vesela. Ja saskaita šos trīs simtus, jūs saņemsiet 300%.

Tāpēc, pārvēršot veselus skaitļus procentos, mēs šos skaitļus reizinām ar 100.

2. problēma. Izsakiet skaitli 5 procentos

5 × 100 = 500%

3. problēma. Izsakiet skaitli 7 procentos

7 × 100 = 700%

4. problēma. Izsakiet skaitli 7,5 procentos

7,5 × 100 = 750%

5. problēma. Izsakiet skaitli 0,5 procentos

0,5 × 100 = 50%

6. problēma. Izsakiet skaitli 0,9 procentos

0,9 × 100 = 90%

7. piemērs. Izsakiet skaitli 1,5 procentos

1,5 × 100 = 150%

8. piemērs. Izsakiet skaitli 2,8 procentos

2,8 × 100 = 280%

9. problēma. Džordžs iet mājās no skolas. Pirmajās piecpadsmit minūtēs viņš nostaigāja 0,75 no ceļa. Atlikušajā laikā viņš nostaigāja atlikušos 0,25 no ceļa. Izsakiet Džordža nobrauktā attāluma procentuālo daļu.

Risinājums

0,75 × 100 = 75%

0,25 × 100 = 25%

10. problēma. Jānis tika pacienāts ar pusi ābolu. Izsakiet šo pusi procentos.

Risinājums

Pusi ābola raksta kā daļskaitli 0,5. Lai izteiktu šo daļu procentos, reiziniet to ar 100 un pievienojiet rezultātam procentu zīmi.

0,5 × 100 = 50%

Analogi frakciju formā

Vērtībai, kas izteikta procentos, ir līdzinieks parastas daļskaitļa formā. Tātad 50% analogs ir frakcija. Piecdesmit procentus var saukt arī par "pusi".

25% ekvivalents ir daļa. Divdesmit piecus procentus var saukt arī par ceturtdaļu.

20% ekvivalents ir daļa. Divdesmit procentus var saukt arī par piekto daļu.

40% analogs ir daļa.

60% analogs ir daļa

1. piemērs. Pieci centimetri ir 50% no decimetra jeb tikai puse. Visos gadījumos mēs runājam par vienu un to pašu vērtību - pieci centimetri no desmit

2. piemērs. Divarpus centimetri ir 25% no decimetra jeb tikai ceturtdaļa

3. piemērs. Divi centimetri ir 20% no decimetra vai

4. piemērs. Četri centimetri ir 40% no decimetra vai

5. piemērs. Seši centimetri ir 60% no decimetra vai

Intereses samazināšanās un palielināšanās

Palielinot vai samazinot vērtību, kas izteikta procentos, tiek izmantots priekšvārds “līdz”.

Piemēri:

• Palielināt par 50% nozīmē palielināt vērtību 1,5 reizes;
• Palielināt par 100% nozīmē palielināt vērtību 2 reizes;
• Palielināt par 200% nozīmē palielināt 3 reizes;
• Samazināt par 50% nozīmē samazināt vērtību 2 reizes;
• Samazināt par 80% nozīmē samazināt 5 reizes.

1. piemērs. Desmit centimetri palielinājās par 50%. Cik centimetrus tu saņēmi?

Lai atrisinātu šādas problēmas, sākotnējā vērtība ir jāuzņem kā 100%. Sākotnējā vērtība ir 10 cm. 50% no tiem ir 5 cm

Sākotnējie 10 cm tika palielināti par 50% (par 5 cm), kas nozīmē, ka tas izrādījās 10+5 cm, tas ir, 15 cm

Desmit centimetru palielināšanas par 50% ekvivalents ir reizinātājs 1,5. Ja ar to reizinat 10 cm, jūs iegūstat 15 cm

10 × 1,5 = 15 cm

Tāpēc izteicieni "palielināt par 50%" un "palielināt 1,5 reizes" nozīmē vienu un to pašu.

2. piemērs. Pieci centimetri palielinājās par 100%. Cik centimetrus tu saņēmi?

Pieņemsim sākotnējos piecus centimetrus par 100%. Simts procenti no šiem pieciem centimetriem paši būs 5 cm. Ja palielināsiet 5 cm par tiem pašiem 5 cm, jūs iegūsit 10 cm

Piecu centimetru palielinājuma par 100% analogs ir koeficients 2. Ja ar to reizinat 5 cm, jūs iegūstat 10 cm

5 × 2 = 10 cm

Tāpēc izteicieni “palielināt par 100%” un “palielināt 2 reizes” nozīmē vienu un to pašu.

3. piemērs. Pieci centimetri palielinājās par 200%. Cik centimetrus tu saņēmi?

Pieņemsim sākotnējos piecus centimetrus par 100%. Divsimt procenti ir divreiz simts procenti. Tas ir, 200% no 5 cm būs 10 cm (5 cm uz katriem 100%). Ja palielināsiet 5 cm par šiem 10 cm, jūs iegūsit 15 cm

Piecu centimetru palielināšanas par 200% ekvivalents ir koeficients 3. Ja jūs ar to reizinat 5 cm, jūs iegūstat 15 cm

5 × 3 = 15 cm

Tāpēc izteicieni “palielināt par 200%” un “palielināt 3 reizes” nozīmē vienu un to pašu.

4. piemērs. Desmit centimetri samazināti par 50%. Cik centimetru atlicis?

Pieņemsim oriģinālos 10 cm par 100%. Piecdesmit procenti no 10 cm ir 5 cm. Ja samazināsiet 10 cm par šiem 5 cm, jums paliks 5 cm

Desmit centimetru samazināšanas par 50% analogs ir dalītājs 2. Ja ar to dalāt 10 cm, iegūstat 5 cm

10: 2 = 5 cm

Tāpēc izteicieni "samazināt par 50%" un "samazināt 2 reizes" nozīmē vienu un to pašu.

5. piemērs. Desmit centimetri tika samazināti par 80%. Cik centimetru atlicis?

Pieņemsim oriģinālos 10 cm par 100%. Astoņdesmit procenti no 10 cm ir 8 cm. Ja samazināsiet 10 cm par šiem 8 cm, jums paliks 2 cm

Desmit centimetru samazināšanas par 80% analogs ir dalītājs 5. Ja ar to dalāt 10 cm, iegūstat 2 cm

10:5 = 2 cm

Tāpēc izteicieni "samazināt par 80%" un "samazināt 5 reizes" nozīmē vienu un to pašu.

Risinot problēmas, kas saistītas ar samazinošiem un pieaugošiem procentiem, vērtību var reizināt/dalīt ar uzdevumā norādīto koeficientu.

1. problēma. Par cik procentiem vērtība mainījās, ja tā pieauga 1,5 reizes?

Problēmā aplūkoto vērtību var apzīmēt kā 100%. Pēc tam reiziniet šo 100% ar koeficientu 1,5

100% × 1,5 = 150%

Tagad no saņemtajiem 150% mēs atņemam sākotnējos 100% un iegūstam atbildi uz problēmu:

150% − 100% = 50%

2. problēma. Par cik procentiem vērtība mainījās, ja tā samazinājās 4 reizes?

Šoreiz vērtība samazināsies, tāpēc veiksim dalīšanu. Apzīmēsim uzdevumā minēto vērtību kā 100%. Pēc tam sadaliet šo 100% ar dalītāju 4

No sākotnējiem 100% atņemiet iegūtos 25% un iegūstiet atbildi uz problēmu:

100% − 25% = 75%

Tas nozīmē, ka vērtībai samazinoties 4 reizes, tā samazinās par 75%.

3. problēma. Par cik procentiem vērtība mainījās, ja tā samazinājās 5 reizes?

Apzīmēsim uzdevumā minēto vērtību kā 100%. Pēc tam sadaliet šo 100% ar dalītāju 5

No sākotnējiem 100% atņemiet iegūtos 20% un iegūstiet atbildi uz problēmu:

100% − 20% = 80%

Tas nozīmē, ka vērtībai samazinoties 5 reizes, tā samazinās par 80%.

4. problēma. Par cik procentiem vērtība mainījās, ja tā samazinājās 10 reizes?

Apzīmēsim uzdevumā minēto vērtību kā 100%. Pēc tam sadaliet šo 100% ar dalītāju 10

No sākotnējiem 100% atņemiet iegūtos 10% un iegūstiet atbildi uz problēmu:

100% − 10% = 90%

Tas nozīmē, ka vērtībai samazinoties 10 reizes, tā samazinās par 90%.

Problēma atrast procentus

Lai kaut ko izteiktu procentos, vispirms ir jāpieraksta daļskaitlis, kas parāda, kāda daļa ir pirmais skaitlis no otrā, pēc tam dala ar šo daļu un iegūto rezultātu izsaka procentos.

Piemēram, lai būtu pieci āboli. Šajā gadījumā divi āboli ir sarkani, trīs ir zaļi. Sarkanos un zaļos ābolus izteiksim procentos.

Vispirms jums jānoskaidro, kāda daļa ir sarkanie āboli. Kopumā ir pieci āboli un divi sarkani. Tas nozīmē, ka divas no piecām vai divām piektdaļām ir sarkanie āboli:

Ir trīs zaļi āboli. Tas nozīmē, ka trīs no piecām vai trim piektdaļām ir zaļi āboli:

Mums ir divas frakcijas un . Veiksim dalīšanu šajās daļās

Mēs saņēmām decimāldaļas 0,4 un 0,6. Tagad izteiksim šīs decimāldaļas procentos:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Tas nozīmē, ka 40% ir sarkani āboli, 60% ir zaļi.

Un visi pieci āboli veido 40%+60%, tas ir, 100%

2. problēma. Mana māte maniem diviem dēliem iedeva 200 rubļus. Mamma jaunākajam brālim iedeva 80 rubļus, vecākajam brālim 120 rubļus. Izsakiet procentos katram brālim piešķirto naudu.

Risinājums

Jaunākais brālis saņēma 80 rubļus no 200 rubļiem. Mēs rakstām daļu astoņdesmit divas simtdaļas:

Vecākais brālis saņēma 120 rubļus no 200 rubļiem. Mēs rakstām daļu simts divdesmit divas simtdaļas:

Mums ir frakcijas un . Veiksim dalīšanu šajās daļās

Iegūtos rezultātus izteiksim procentos:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Tas nozīmē, ka jaunākais brālis saņēma 40% no naudas, bet vecākais brālis - 60%.

Dažas daļskaitļus, kas parāda, kāda daļa ir pirmais skaitlis no otrā, var samazināt.

Tādā veidā varētu samazināt frakcijas. Tas nemainītu atbildi uz problēmu:

3. problēma. Ģimenes budžets ir 75 tūkstoši rubļu mēnesī. No tiem 52,5 tūkstoši rubļu. - tēta nopelnītā nauda. 22,5 tūkstoši rubļu. - mammas nopelnītā nauda. Procentos izsakiet mammas un tēta nopelnīto naudu.

Risinājums

Šis uzdevums, tāpat kā iepriekšējais, ir uzdevums atrast procentus.

Izteiksim tēta nopelnīto naudu procentos. Viņš nopelnīja 52,5 tūkstošus rubļu no 75 tūkstošiem rubļu

Dalīsim šajā daļā:

0,7 × 100 = 70%

Tas nozīmē, ka tētis nopelnīja 70% naudas. Tālāk nav grūti uzminēt, ka atlikušos 30% naudas nopelnījusi mana mamma. Galu galā 75 tūkstoši rubļu ir 100% nauda. Pārbaudīsim, lai pārliecinātos. Mamma nopelnīja 22,5 tūkstošus rubļu. no 75 tūkstošiem rubļu. Mēs pierakstām daļskaitli, veicam dalīšanu un izsakām rezultātu procentos:

4. problēma. Skolnieks trenējas veikt pievilkšanos uz stieņa. Pagājušajā mēnesī viņš varēja veikt 8 pievilkšanos komplektā. Šomēnes viņš vienā komplektā var veikt 10 pievilkšanās reizes. Par cik procentiem viņš palielināja pievilkšanās skaitu?

Risinājums

Noskaidrosim, cik daudz vairāk pievilkšanās vingrinājumu skolēns veic pašreizējā mēnesī nekā agrāk

Noskaidrosim, kādu daļu divi pievilkšanās veido no astoņiem pievilkšanās gadījumiem. Lai to izdarītu, atrodiet attiecību 2 pret 8

Veiksim dalīšanu šajā daļā

Izteiksim rezultātu procentos:

0,25 × 100 = 25%

Tas nozīmē, ka students palielināja pievilkšanās skaitu par 25%.

Šo problēmu var atrisināt sekundē, vairāk ātra metode— noskaidro, cik reizes 10 pievilkšanās ir lielākas par 8 pievilkšanās reizēm un izsaka rezultātu procentos.

Lai noskaidrotu, cik reizes desmit pievilkšanās ir lielākas par astoņām pievilkšanās reizēm, jāatrod attiecība 10 pret 8

Sadalīsim iegūto daļu

Izteiksim rezultātu procentos:

1,25 × 100 = 125%

Pašreizējā mēneša pievilkšanās likme ir 125%. Šis apgalvojums ir jāsaprot tieši tā "ir 125%", nevis kā "rādītājs pieauga par 125%". Tie ir divi dažādi apgalvojumi, kas izsaka dažādus daudzumus.

Apgalvojums "ir 125%" ir jāsaprot kā "astoņi pievilkšanās mehānismi, kas veido 100% plus divi pievilkšanās vilcieni, kas veido 25% no astoņiem pievilkšanās pievilkumiem". Grafiski tas izskatās šādi:

Un apgalvojums “palielinājās par 125%” jāsaprot tā, ka “pašreizējiem astoņiem pievilkšanās pievilkumiem, kas bija 100%, tika pieskaitīti vēl 100% (vēl 8 pievilkšanās) plus vēl 25% (2 pievilkšanās). ” Tas ir kopā 18 pievilkšanās.

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 pievilkšanās

Grafiski šis paziņojums izskatās šādi:

Kopumā izrādās 225%. Ja atrodam 225% no astoņām pievilkšanās reizēm, iegūstam 18 pievilkšanās

8 × 2,25 = 18

5. problēma. Pagājušajā mēnesī alga bija 19,2 tūkstoši rubļu. Šomēnes tas bija 20,16 tūkstoši rubļu. Par cik procentiem pieauga alga?

Šo problēmu, tāpat kā iepriekšējo, var atrisināt divos veidos. Pirmais ir vispirms noskaidrot, par cik rubļiem ir pieaugusi alga. Tālāk uzziniet, kāda šī pieauguma daļa ir no pagājušā mēneša algas

Noskaidrosim, par cik rubļiem pieauga alga:

20,16 − 19,2 = 0,96 tūkstoši rubļu.

Noskaidrosim, kāda daļa no 0,96 tūkstošiem rubļu. svārstās no 19.2. Lai to izdarītu, mēs atrodam attiecību 0,96 līdz 19,2

Veiksim dalīšanu iegūtajā daļā. Pa ceļam atcerēsimies:

Izteiksim rezultātu procentos:

0,05 × 100 = 5%

Tas nozīmē, ka alga pieauga par 5%.

Atrisināsim problēmu otrā veidā. Noskaidrosim, cik reizes 20,16 tūkstoši rubļu. vairāk nekā 19,2 tūkstoši rubļu. Lai to izdarītu, mēs atrodam attiecību 20,16 līdz 19,2

Sadalīsim iegūto daļu:

Izteiksim rezultātu procentos:

1,05 × 100 = 105%

Alga ir 105%. Tas ir, tas ietver 100%, kas bija 19,2 tūkstoši rubļu, plus 5%, kas bija 0,96 tūkstoši rubļu.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

6. problēma. Portatīvā datora cena šomēnes pieaugusi par 5%. Kāda ir tā cena, ja pagājušajā mēnesī tas maksāja 18,3 tūkstošus rubļu?

Risinājums

Atradīsim 5% no 18.3:

18,3 × 0,05 = 0,915

Pievienosim šos 5% 18.3:

18,3 + 0,915 = 19,215 tūkstoši rubļu.

Atbilde: klēpjdatora cena ir 19 215 tūkstoši rubļu.

7. problēma. Portatīvā datora cena šomēnes samazinājusies par 10%. Kāda ir tā cena, ja pagājušajā mēnesī tas maksāja 16,3 tūkstošus rubļu?

Risinājums

Atradīsim 10% no 16.3:

16,3 × 0,10 = 1,63

Atņemiet šos 10% no 16,3:

16,3 - 1,63 = 14,67 (tūkstoši rubļu)

Šādus uzdevumus var īsi uzrakstīt:

16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (tūkstoši rubļu)

Atbilde: klēpjdatora cena ir 14,67 tūkstoši rubļu.

8. problēma. Pagājušajā mēnesī klēpjdatora cena bija 21 tūkstotis rubļu. Šomēnes cena pieauga līdz 22,05 tūkstošiem rubļu. Par cik procentiem cena pieauga?

Risinājums

Noteiksim, par cik rubļiem cena pieaugusi

22.05 - 21 = 1,05 (tūkstoši rubļu)

Noskaidrosim, kāda daļa no 1,05 tūkstošiem rubļu. ir no 21 tūkstoša rubļu.

Izteiksim rezultātu procentos

0,05 × 100 = 5%

Atbilde: klēpjdatora cena pieauga par 5%

8. problēma. Strādniekam pēc plāna bija paredzēts saražot 600 detaļas, bet viņš saražoja 900 detaļas. Cik procentu viņš izpildīja plānu?

Risinājums

Noskaidrosim, cik reižu vairāk 900 daļas ir par 600 daļām. Lai to izdarītu, atrodiet attiecību no 900 līdz 600

Šīs daļas vērtība ir 1,5. Izteiksim šo vērtību procentos:

1,5 × 100 = 150%

Tas nozīmē, ka strādnieks plānu izpildīja par 150%. Tas ir, viņš to pabeidza 100%, saražojot 600 detaļas. Tad viņš izgatavoja vēl 300 detaļas, kas ir 50% no sākotnējā plāna.

Atbilde: strādnieks pabeidza plānu par 150%.

Procentuālo vērtību salīdzinājums

Mēs jau daudzkārt esam salīdzinājuši daudzumus dažādos veidos. Mūsu pirmais instruments bija atšķirība. Tā, piemēram, lai salīdzinātu 5 rubļus un 3 rubļus, mēs pierakstījām starpību 5–3. Saņemot 2. atbildi, varētu teikt, ka “pieci rubļi ir par diviem rubļiem vairāk nekā trīs rubļi”.

Ikdienā atņemšanas rezultātā iegūto atbildi sauc nevis par “atšķirību”, bet gan par “atšķirību”.

Tātad starpība starp pieciem un trim rubļiem ir divi rubļi.

Nākamais rīks, ko izmantojām vērtību salīdzināšanai, bija attiecība. Attiecība ļāva mums noskaidrot, cik reižu pirmais skaitlis ir lielāks par otro (vai cik reizes pirmais cipars satur otro).

Tā, piemēram, desmit āboli ir piecas reizes vairāk nekā divi āboli. Citiem vārdiem sakot, desmit ābolos piecas reizes ir divi āboli. Šo salīdzinājumu var uzrakstīt, izmantojot relāciju

Bet vērtības var salīdzināt arī procentos. Piemēram, salīdziniet divu preču cenu nevis rubļos, bet novērtējiet, cik procentuāli vienas preces cena ir lielāka vai mazāka par otras cenu.

Lai salīdzinātu procentuālās vērtības, vienai no tām jābūt 100%, bet otrai, pamatojoties uz problēmas apstākļiem.

Piemēram, noskaidrosim, cik procenti desmit ābolu ir vairāk nekā astoņi āboli.

100% ir vērtība, ar kuru mēs kaut ko salīdzinām. Mēs salīdzinām 10 ābolus ar 8 āboliem. Tātad 100% mēs apzīmējam 8 ābolus:

Tagad mūsu uzdevums ir salīdzināt, cik procenti 10 āboli ir lielāki par šiem 8 āboliem. 10 āboli ir 8+2 āboli. Tas nozīmē, ka, astoņiem āboliem pievienojot vēl divus ābolus, mēs palielināsim par 100% par vēl vienu procentuālo daļu. Lai noskaidrotu, kurš no tiem, noteiksim, cik procentu no astoņiem āboliem ir divi āboli

Pievienojot šos 25% astoņiem āboliem, mēs iegūstam 10 ābolus. Un 10 āboli ir 8+2, tas ir, 100% un vēl 25%. Kopā mēs saņemam 125%

Tas nozīmē, ka desmit āboli ir par 25% lielāki nekā astoņi āboli.

Tagad atrisināsim apgriezto problēmu. Noskaidrosim, cik procentu astoņi āboli ir mazāki par desmit āboliem. Atbilde uzreiz liecina: astoņi āboli ir par 25% mazāki. Tomēr tā nav.

Mēs salīdzinām astoņus ābolus ar desmit āboliem. Vienojāmies, ka ņemsim par 100% to, ar ko salīdzināsim. Tāpēc šoreiz par 100% ņemam 10 ābolus:

Astoņi āboli ir 10–2, tas ir, samazinot 10 ābolus par 2 āboliem, mēs tos samazināsim par noteiktu procentu. Lai noskaidrotu, kurš no tiem, noteiksim, cik procentu no desmit āboliem ir divi āboli

Atņemot šos 20% no desmit āboliem, iegūstam 8 ābolus. Un 8 āboli ir 10–2, tas ir, 100% un mīnus 20%. Kopā mēs saņemam 80%

Tas nozīmē, ka astoņi āboli ir par 20% mazāk nekā desmit āboli.

2. problēma. Par cik procentiem 5000 rubļu ir vairāk nekā 4000 rubļu?

Risinājums

Ņemsim 4000 rubļu par 100%. 5 tūkstoši ir vairāk nekā 4 tūkstoši ar 1 tūkstoti. Tas nozīmē, ka, palielinot četrus tūkstošus par tūkstoti, mēs palielināsim četrus tūkstošus par noteiktu procentu. Noskaidrosim, kura. Lai to izdarītu, mēs nosakām, kāda tūkstoš daļa ir no četriem tūkstošiem:

Izteiksim rezultātu procentos:

0,25 × 100 = 25%

1000 rubļu no 4000 rubļiem ir 25%. Ja pievienojat šos 25% līdz 4000, jūs saņemsiet 5000 rubļu. Tas nozīmē, ka 5000 rubļu ir par 25% vairāk nekā 4000 rubļu

3. problēma. Cik procenti ir 4000 rubļu mazāki par 5000 rubļiem?

Šoreiz salīdzinām 4000 ar 5000. Ņemsim 5000 par 100%. Pieci tūkstoši ir vairāk nekā četri tūkstoši reiz tūkstotis rubļu. Uzziniet, kāda ir tūkstoš daļa no pieciem tūkstošiem

Viens tūkstotis no pieciem tūkstošiem ir 20%. Ja no 5000 rubļiem atņemam šos 20%, sanāk 4000 rubļu.

Tas nozīmē, ka 4000 rubļu ir mazāk nekā 5000 rubļu par 20%

Problēmas ar koncentrāciju, sakausējumiem un maisījumiem

Pieņemsim, ka vēlaties pagatavot sulu. Mūsu rīcībā ir ūdens un aveņu sīrups.

Ielejiet glāzē 200 ml ūdens:

Pievienojiet 50 ml aveņu sīrupa un samaisiet iegūto šķidrumu. Rezultātā iegūsim 250 ml aveņu sulas (200 ml ūdens + 50 ml sīrupa = 250 ml sulas)

Kāda daļa no iegūtās sulas ir aveņu sīrups?

Aveņu sīrups veido sulu. Aprēķināsim šo attiecību un iegūstam skaitli 0,20. Šis skaitlis parāda izšķīdinātā sīrupa daudzumu iegūtajā sulā. Zvanīsim uz šo numuru sīrupa koncentrācija.

Izšķīdušās vielas koncentrācija ir izšķīdušās vielas daudzuma vai tās masas attiecība pret šķīduma tilpumu.

Koncentrāciju parasti izsaka procentos. Sīrupa koncentrāciju izteiksim procentos:

0,20 × 100 = 20%

Tādējādi sīrupa koncentrācija aveņu sulā ir 20%.

Šķīdumā esošās vielas var būt neviendabīgas. Piemēram, sajauciet 3 litrus ūdens un 200 g sāls.

1 litra ūdens masa ir 1 kg. Tad 3 litru ūdens masa būs 3 kg. Pārvēršam 3 kg uz gramiem, iegūstam 3 kg = 3000 g.

Tagad pievienojiet 200 g sāls 3000 g ūdens un samaisiet iegūto šķidrumu. Rezultātā tiks iegūts sāls šķīdums, kura kopējā masa būs 3000 + 200, tas ir, 3200 g. Ļaujiet mums atrast sāls koncentrāciju iegūtajā šķīdumā. Lai to izdarītu, atrodiet izšķīdinātā sāls masas attiecību pret šķīduma masu

Tas nozīmē, ka sajaucot 3 litrus ūdens un 200 g sāls, iegūsiet 6,25% sāls šķīdumu.

Līdzīgi var noteikt vielas daudzumu sakausējumā vai maisījumā. Piemēram, sakausējums satur alvu, kas sver 210 g, un sudrabu, kas sver 90 g.Tad sakausējuma masa būs 210 + 90, tas ir, 300 g.Sakausējuma sastāvā būs alva un sudrabs. Alvas procentuālais daudzums būs 70% un sudraba 30%

Sajaucot divus šķīdumus, iegūst jaunu šķīdumu, kas sastāv no pirmā un otrā šķīduma. Jaunajam šķīdumam var būt cita vielas koncentrācija. Noderīga prasme ir spēja risināt problēmas, kas saistītas ar koncentrāciju, sakausējumiem un maisījumiem. Kopumā šādu uzdevumu jēga ir uzraudzīt izmaiņas, kas rodas, sajaucot dažādu koncentrāciju šķīdumus.

Sajauc divas aveņu sulas. Pirmie 250 ml sulas satur 12,8% aveņu sīrupa. Un otrā sula, 300 ml, satur 15% aveņu sīrupa. Ielejiet šīs divas sulas lielā glāzē un samaisiet. Rezultātā mēs iegūstam jaunu sulu ar tilpumu 550 ml.

Tagad noteiksim sīrupa koncentrāciju iegūtajā sulā. Pirmajās 250 ml notecinātās sulas bija 12,8% sīrupa. Un 12,8% no 250 ml ir 32 ml. Tas nozīmē, ka pirmajā sulā bija 32 ml sīrupa.

Otrajā notecinātajā 300 ml sulā bija 15% sīrupa. Un 15% no 300 ml ir 45 ml. Tas nozīmē, ka otrā sula saturēja 45 ml sīrupa.

Saskaitīsim sīrupu daudzumus:

32 ml + 45 ml = 77 ml

Šie 77 ml sīrupa ir ietverti jaunajā sulā, kuras tilpums ir 550 ml. Noteiksim sīrupa koncentrāciju šajā sulā. Lai to izdarītu, atrodiet 77 ml izšķīdinātā sīrupa attiecību pret sulas tilpumu 550 ml:

Tas nozīmē, ka sajaucot 12,8% aveņu sulu ar tilpumu 250 ml un 15% aveņu sulu ar tilpumu 300 ml, tiek iegūta 14% aveņu sula ar tilpumu 550 ml.

1. problēma. Ir 3 risinājumi jūras sālsūdenī: pirmajā šķīdumā ir 10% sāls, otrajā ir 15% sāls un trešajā - 20% sāls. Sajauc 130 ml pirmā šķīduma, 200 ml otrā šķīduma un 170 ml trešā šķīduma. Nosakiet, cik procentu jūras sāls ir iegūtajā šķīdumā.

Risinājums

Noteiksim iegūtā šķīduma tilpumu:

130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml

Tā kā pirmajā šķīdumā bija 130 × 0,10 = 13 ml jūras sāls, otrajā šķīdumā bija 200 × 0,15 = 30 ml jūras sāls, bet trešajā šķīdumā bija 170 × 0,20 = 34 ml jūras sāls, tad iegūtais šķīdums saturēs satur 13 + 30 + 34 = 77 ml jūras sāls.

Ļaujiet mums noteikt jūras sāls koncentrāciju iegūtajā šķīdumā. Lai to izdarītu, atrodiet 77 ml jūras sāls attiecību pret 500 ml šķīduma tilpumu

Tas nozīmē, ka iegūtais šķīdums satur 15,4% jūras sāls.

2. problēma. Cik gramus ūdens jāpievieno 50 g šķīduma, kas satur 8% sāls, lai iegūtu 5% šķīdumu?

Risinājums

Ņemiet vērā, ka, pievienojot ūdeni esošajam šķīdumam, sāls daudzums tajā nemainīsies. Mainīsies tikai tā procentuālais daudzums, jo ūdens pievienošana šķīdumam mainīs tā masu.

Mums jāpievieno tāds ūdens daudzums, lai astoņi procenti sāls kļūtu par pieciem procentiem.

Noteiksim, cik gramu sāls ir 50 g šķīduma. Lai to izdarītu, atrodiet 8% no 50

50 g × 0,08 = 4 g

8% no 50 gramiem ir 4 grami, citiem vārdiem sakot, astoņas daļas no simts ir vienādas ar 4 gramiem sāls. Pārliecināsimies, ka šie 4 grami nāk nevis no astoņām daļām, bet no piecām daļām, tas ir, 5%

4 grami - 5%

Tagad, zinot, ka 5% šķīdumā ir 4 grami, mēs varam atrast visa šķīduma masu. Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams:

4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g

80 grami šķīduma ir masa, kurā 5% šķīdumā būs 4 grami sāls. Un, lai iegūtu šos 80 gramus, sākotnējiem 50 gramiem jāpievieno 30 grami ūdens.

Tas nozīmē, ka, lai iegūtu 5% sāls šķīdumu, esošajam šķīdumam jāpievieno 30 g ūdens.

2. problēma. Vīnogas satur 91% mitruma, bet rozīnes - 7%. Cik kilogramu vīnogu vajag, lai saražotu 21 kilogramu rozīņu?

Risinājums

Vīnogas sastāv no mitruma un tīras vielas. Ja svaigās vīnogās ir 91% mitruma, tad atlikušie 9% būs šīs vīnogas tīrā viela:

Rozīnes satur 93% tīras vielas un 7% mitruma:

Ņemiet vērā, ka procesā, vīnogas pārvēršot rozīnēs, pazūd tikai šo vīnogu mitrums. Tīrā viela paliek nemainīga. Pēc tam, kad vīnogas pārvēršas par rozīnēm, iegūtajās rozīnēs būs 7% mitruma un 93% tīras vielas.

Noteiksim, cik daudz tīras vielas satur 21 kg rozīņu. Lai to izdarītu, mēs atradīsim 93% no 21 kg

21 kg × 0,93 = 19,53 kg

Tagad atgriezīsimies pie pirmā zīmējuma. Mūsu uzdevums bija noteikt, cik vīnogu vajag, lai iegūtu 21 kg rozīņu. Tīra viela, kas sver 19,53 kg, veidos 9% vīnogu:

Tagad, zinot, ka 9% tīras vielas ir 19,53 kg, mēs varam noteikt, cik vīnogu nepieciešams, lai iegūtu 21 kg rozīņu. Lai to izdarītu, jums jāatrod skaitlis pēc tā procentiem:

19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg

Tas nozīmē, ka, lai iegūtu 21 kg rozīņu, jāņem 217 kg vīnogu.

3. problēma. Alvas un vara sakausējumā varš veido 85%. Cik daudz sakausējuma jāņem, lai tajā būtu 4,5 kg alvas?

Risinājums

Ja varš veido 85% no sakausējuma, tad atlikušie 15% būs alva:

Jautājums, cik daudz sakausējuma jāņem, lai tajā būtu 4,5 alvas. Tā kā sakausējums satur 15% alvas, 4,5 kg alvas veidos šos 15%.

Un, zinot, ka 4,5 kg sakausējuma veido 15%, mēs varam noteikt visa sakausējuma masu. Lai to izdarītu, jums jāatrod skaitlis pēc tā procentiem:

4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg

Tas nozīmē, ka jāņem 30 kg sakausējuma, lai tajā būtu 4,5 kg alvas.

4. problēma. Sajauc kādu 12% šķīduma daudzumu sālsskābes ar tādu pašu daudzumu 20% tās pašas skābes šķīduma. Atrodiet iegūtās sālsskābes koncentrāciju.

Risinājums

Attēlos pirmo risinājumu attēlā kā taisnu līniju un iezīmēsim uz tās 12%.

Tā kā šķīdumu skaits ir vienāds, vienu un to pašu skaitli var uzzīmēt blakus, ilustrējot otro šķīdumu ar sālsskābes saturu 20%

Mums ir divi simti daļu šķīduma (100% + 100%), no kuriem trīsdesmit divas daļas ir sālsskābe (12% + 20%)

Noskaidrosim, kādu daļu 32 daļas veido 200 daļas

Tas nozīmē, ka, sajaucot 12% sālsskābes šķīdumu ar tādu pašu daudzumu tās pašas skābes 20% šķīduma, tiek iegūts 16% sālsskābes šķīdums.

Lai pārbaudītu, iedomājieties, ka pirmā šķīduma masa bija 2 kg. Arī otrā šķīduma masa būs 2 kg. Tad, sajaucot šos šķīdumus, jūs iegūsit 4 kg šķīduma. Pirmajā sālsskābes šķīdumā bija 2 × 0,12 = 0,24 kg, bet otrajā - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Tad jaunajā sālsskābes šķīdumā būs 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. Sālsskābes koncentrācija būs 16%

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

Tagad palielināsim skaitu par atrastajiem 60%, t.i. uz numuru

Atbilde: jaunā vērtība ir

12. uzdevums. Atbildiet uz šādiem jautājumiem:

1) Iztērēti 80% no summas. Cik procenti no šīs summas paliek?
2) Vīrieši veido 75% no visiem rūpnīcā strādājošajiem. Cik procenti rūpnīcas darbinieku ir sievietes?
3) Meitenes veido 40% no klases. Cik procentu no klases ir zēni?

A Risinājums

Izmantosim mainīgo. Ļaujiet P tas ir oriģinālais numurs, kas minēts problēmā. Ņemsim šo sākotnējo skaitli P par 100%

Samazināsim šo sākotnējo skaitli P par 50%

Tagad jaunais numurs ir 50% no sākotnējā numura. Uzziniet, cik reizes ir sākotnējais skaitlis P vairāk nekā jaunais numurs. Lai to izdarītu, atrodiet attiecību 100% pret 50%

Sākotnējais numurs ir divreiz lielāks par jauno. To var redzēt pat no zīmējuma. Un, lai jaunais skaitlis būtu vienāds ar sākotnējo, tas ir jāpalielina. Un skaitļa dubultošana nozīmē to palielināt par 100%.

Tas nozīmē, ka jaunais skaitlis, kas ir puse no sākotnējā skaitļa, ir jāpalielina par 100%.

Apsverot jauno skaitli, tas arī tiek ņemts par 100%. Tātad iepriekš minētajā attēlā jaunais skaitlis ir puse no sākotnējā skaitļa un ir apzīmēts kā 50%. Saistībā ar sākotnējo skaitli jaunais skaitlis ir puse. Bet, ja mēs to aplūkojam atsevišķi no sākotnējā, tas ir jāņem par 100%.

Tāpēc attēlā jaunais skaitlis, kas attēlots ar līniju, vispirms tika apzīmēts kā 50%. Bet tad mēs norādījām šo skaitli kā 100%.

Atbilde: Lai iegūtu sākotnējo numuru, jaunais skaitlis ir jāpalielina par 100%.

16. problēma. Pagājušajā mēnesī pilsētā notika 15 avārijas.
Šomēnes šis skaitlis nokritās līdz 6. Par cik procentiem samazinājies negadījumu skaits?

Risinājums

Pagājušajā mēnesī notikušas 15 avārijas. Šomēnes tādas ir 6. Tas nozīmē, ka negadījumu skaits samazinājies par 9.
Pieņemsim 15 negadījumus par 100%. Samazinot 15 ceļu satiksmes negadījumus par 9, mēs tos samazināsim par noteiktu procentu. Lai noskaidrotu, kura, noskaidrosim, kāda daļa no 9 negadījumiem ir no 15 negadījumiem

Atbilde: iegūtā šķīduma koncentrācija ir 12%.

18. uzdevums. Mēs sajaucām noteiktu daudzumu noteiktas vielas 11% šķīduma ar tādu pašu daudzumu tās pašas vielas 19% šķīduma. Atrodiet iegūtā šķīduma koncentrāciju.

Risinājums

Abu šķīdumu masa ir vienāda. Katru risinājumu var uzskatīt par 100%. Pēc šķīdumu pievienošanas jūs iegūstat 200% šķīdumu. Pirmajā šķīdumā bija 11% vielas, bet otrajā šķīdumā bija 19% vielas. Tad iegūtais 200% šķīdums saturēs 11% + 19% = 30% vielas.

Nosakām iegūtā šķīduma koncentrāciju. Lai to izdarītu, mēs noskaidrojam, kādu daļu no trīsdesmit vielas daļām veido divi simti vielas daļu:

1,10. Tas nozīmē, ka cena par pirmo mēnesi būs 1.10.

Otrajā mēnesī cena arī pieauga par 10%. Pievienojot desmit procentus no šīs cenas esošajai cenai 1,10, mēs iegūstam 1,10 + 0,10 × 1,10. Šī summa ir vienāda ar izteiksmi 1.21 . Tas nozīmē, ka cena par otro mēnesi kļūs 1.21.

Trešajā mēnesī cena arī pieauga par 10%. Pievienojot desmit procentus no šīs cenas esošajai cenai 1,21, mēs iegūstam 1,21 + 0,10 × 1,21. Šī summa ir vienāda ar izteiksmi 1.331 . Tad cena par trešo mēnesi kļūs 1.331.

Aprēķināsim starpību starp jauno un veco cenu. Ja sākotnējā cena bija vienāda ar 1, tad tā pieauga par 1,331 − 1 = 0,331. Izteiksim šo rezultātu procentos, iegūstam 0,331 × 100 = 33,1%

Atbilde: 3 mēnešu laikā pārtikas cenas pieauga par 33,1%.

Vai jums patika nodarbība?
Pievienojieties mūsu jaunajai VKontakte grupai un sāciet saņemt paziņojumus par jaunām nodarbībām

Sūtot bērnu uz skolu, daudzi vecāki uztraucas, ka nevarēs palīdzēt atrisināt vienkāršu problēmu, tādējādi iekrītot bērnu acīs. No tā nav jābaidās, un, lai izvairītos no šādām situācijām, jums būs jāatceras kādreiz iegūtās zināšanas un, iespējams, jāmācās jaunā veidā. Ja vēl var atrisināt pamatklasēs piedāvātās problēmas, tad ne visi tiek galā ar piektās klases programmu, un tieši šajā posmā bērnam būs jāiemācās, cik procenti ir, un jādomā, kā izskaidrot. procentus matemātikā savam bērnam. Rakņājušies pa atmiņām, daudzi atradīs problēmas risinājumu, bet, ja būsi aizmirsis, kā aprēķināt procentus, nāksies sēsties pie mācību grāmatām.

Māciet bērnam aprēķināt procentus

Matemātikas skolotājs precīzi zina, kā bērnam izskaidrot procentus matemātikā, viņš mācīs arī citas aritmētiskās darbības, taču ne visi bērni ir apveltīti ar spēju uztvert informāciju pēc auss vai no grāmatām. Šajā gadījumā viņi vērsīsies pie saviem vecākiem, kuriem jāpaskaidro, kā kaut kam aprēķināt procentus. Ja nezināt, kā skolēnam izskaidrot procentus, mēģiniet nodarbību pārvērst par jautru spēli. Lai to izdarītu, iespējams, būs jāzīmē 100 figūras, taču tas ir tā vērts, jo jūs varat visu skaidri izskaidrot. Jums jāsaka, ka visas simts figūras ir 100%, un, ja jūs krāsojat 50 figūras jebkurā krāsā, tad tieši puse no nekrāsotajām figūrām paliks, un puse ir 50%.

Visticamāk, šī spēle bērnam patiks, un jums ir manevrēšanas telpa – varat izkrāsot jebkādas formas, aicinot bērnu tās saskaitīt. Galu galā šeit viss ir vienkārši - 30 krāsotas figūras - 30% un tā tālāk. Kad bērns, izmantojot vizuālus piemērus, saprot, kādi procenti ir, varat izlemt, kā aprēķināt daudzuma procentuālo daļu. Ja nezināt, kā izskaidrot bērnam procentuālo tēmu 5. un 6. klasē, palūdziet viņam atrisināt vienkāršu uzdevumu, aprēķinot 50 procentus no jebkura cilvēku skaita. Lai to izdarītu, viņam vienkārši jādala 50 ar 100 un jāreizina ar kopējo cilvēku skaitu. Ir arī citas iespējas, taču neaizmirstiet nedaudz aizmirstās proporcijas, kas ir vispiemērotākās procentu aprēķināšanai.

Procentu piemērošana dzīvē

Lai tavs bērns labāk apgūtu procentus un, ja vēl neesi sapratis, kā bērnam 5. un 6. klasē izskaidrot procentuālās problēmas, vispirms mēģini paskaidrot, kāpēc viņam tas principā vajadzīgs. Lai to izdarītu, jums būs jābūt radošam. Aizvediet, piemēram, bērnu uz banku un, izmantojot piemēru, mēģiniet viņam izskaidrot, kas ir procents procentu likme uz aizdevumu. Bērnam par to vajadzētu interesēties, un viņš sapratīs, ka ir svarīgi zināt procentus, un tagad jūs varat mierīgi sākt pētīt procentus. Procentu atcerēšanos var izmantot citās dzīves situācijās, galvenais, lai bērnam tas ir interesanti, un viņš saprot, ka, ja viņš nesapratīs procentus, viņš daudz zaudēs.

Pirmā lieta, kas bērnam jāiemācās, ir tas, ka procents ir skaitļa simtdaļa. Procentus var pārvērst decimāldaļās, dalot vajadzīgo skaitli ar 100, savukārt, lai decimāldaļu pārvērstu procentos, ir jārīkojas otrādi – jāreizina daļskaitlis ar 100. Ja bērnam ir interese mācīties procentus, palūdziet viņam iegaumēt tabula, kurā parādītas proporcijas daļskaitļi un procenti, atvieglojot mācīšanos ar interesantiem attēliem.

Kad skolēni iestājas piektajā klasē, viņi saskaras ar jauna veida matemātikas uzdevumiem — procentu problēmām. Daudziem no viņiem šī tēma var būt diezgan sarežģīta. Kā izskaidrot procentu atrašanu?

Instrukcijas

Bērns parasti ātri saprot pirmskaitļu problēmas. Piemēram, ja vienā rublī ir 100 kapeikas, 50 kapeikas ir 50 procenti. Ir daudz grūtāk izskaidrot, ka procentus var atrast jebkurai vērtībai. Tikuši galā ar vienkāršiem daudzumiem: grami un kilogrami, centimetri un metri, pārejiet pie sarežģītākiem jautājumiem.

1200 uzvalki – 100%

X uzvalki – 30%

X (1200*30)/100.
Jums vienkārši jāreizina skaitļi šķērsām un jāatrisina iegūtais vienādojums. Neuztraucieties, ja domājat, ka jūsu bērns lietas risina mehāniski. Lai gan viņam nav dziļi jādomā par būtību, vissvarīgākais ir tas, ka viņš atceras darbību algoritmu, ar to pietiks, lai atrisinātu skolas problēmas. Esiet pacietīgs, nekliedziet uz savu bērnu un nedusmojieties uz viņu. Galu galā viņam šķiet, ka šī informācija ir ļoti sarežģīta, nesaprotama un pilnīgi nevajadzīga. Mēģiniet viņam piedāvāt praktiskus uzdevumus, piemēram, par ģimenes budžetu.

Kad skolēni iestājas piektajā klasē, viņi saskaras ar jauna veida matemātikas uzdevumiem — procentu problēmām. Daudziem no viņiem šī tēma var būt diezgan sarežģīta. Kā izskaidrot procentu atrašanu?

Prakses sponsors P&G Raksti par tēmu “Kā izskaidrot procentus” Kā izveidot portfeli pamatskolas skolēnam Kā noformēt sienas avīzi par krievu valodu Kā noformēt skolēna esejas titullapu

Instrukcijas

Pastāstiet savam bērnam stāstu par to, kā radās vārda procents. Tas nāk no latīņu vārda “pro centum”, kas tulkojumā nozīmē “simtā daļa”. Vēlāk Matjē de la Portē komerciālās aritmētikas mācību grāmatā tika pieļauta drukas kļūda, kādēļ parādījās % zīme. Tādējādi vissvarīgākais ir saprast, ka procents ir viena simtā daļa no jebkura skaitļa.

Bērns parasti ātri saprot problēmas, kas saistītas ar pirmskaitļiem. Piemēram, ja vienā rublī ir 100 kapeikas, 50 kapeikas ir 50 procenti. Ir daudz grūtāk izskaidrot, ka procentus var atrast jebkurai vērtībai. Tikuši galā ar vienkāršiem daudzumiem: grami un kilogrami, centimetri un metri, pārejiet pie sarežģītākiem jautājumiem.

Ja bērns nevar saprast pašu procentu būtību, iemāciet viņam risināt problēmas, izmantojot algoritmu, pārliecinoties, ka viņš neizlaiž nevienu risinājuma soli. Piemēram, uzdevums: apģērbu fabrika gada laikā saražoja 1200 uzvalkus. No tiem 30% ir zili uzvalki. Cik zilu uzvalku rūpnīca ražoja? Vispirms noskaidrojiet, cik uzvalku veido 1%. Lai to izdarītu, kopējo summu sadaliet ar 100. 1200/100 = 12. Tas ir, katriem 12 uzvalkiem ir 1 procents. Pēc tam reiziniet 12 ar 30%, lai iegūtu atbildi.

Varat izmantot veco “vectēva” proporcijas metodi. Nez kāpēc tagad skolās to rāda reti, bet strādā nevainojami. No tā paša uzdevuma:

1200 uzvalki – 100%
X uzvalki – 30%
X (1200*30)/100.

Jums vienkārši jāreizina skaitļi šķērsām un jāatrisina iegūtais vienādojums. Neuztraucieties, ja domājat, ka jūsu bērns lietas risina mehāniski. Lai gan viņam nav dziļi jādomā par būtību, vissvarīgākais ir tas, ka viņš atceras darbību algoritmu, ar to pietiks, lai atrisinātu skolas problēmas. Esiet pacietīgs, nekliedziet uz savu bērnu un nedusmojieties uz viņu. Galu galā viņam šķiet, ka šī informācija ir ļoti sarežģīta, nesaprotama un pilnīgi nevajadzīga. Mēģiniet viņam piedāvāt praktiskus uzdevumus, piemēram, par ģimenes budžetu.

Cik vienkārši

Citas ziņas par tēmu:

Skaitļa procentuālā daļa ir šī skaitļa simtdaļa, kas apzīmēta kā 1%. Simts procenti (100%) ir vienāds ar pašu skaitli, un 10% no skaitļa ir vienādi ar desmito daļu no šī skaitļa. Procentuālās daļas atņemšana nozīmē skaitļa samazināšanu par kādu daļu. Jums būs nepieciešams kalkulators, papīra gabals, pildspalva un garīgās aritmētikas prasmes. Sponsors

Ekonomistiem un tehniķiem bieži ir jāaprēķina skaitļu procenti. Grāmatvežiem pareizi jāaprēķina nodokļi, baņķieriem – ienākumi (procenti) no noguldījumiem, bet inženieriem – parametru pieļaujamās novirzes. Visos šādos gadījumos ir jāaprēķina kādas zināmas vērtības procenti. Tev

Viss ir relatīvs. Dažu daudzumu attiecību savā starpā var izteikt procentos. Piemēram, aprēķinot, cik procentu šķidruma no tilpuma ir 1 kg tomātu un gurķu, uzzināsiet, kas būs sulīgāks. Jums būs nepieciešams 1) papīrs 2) pildspalva 3) kalkulatora publicēšanas sponsors

Viens procents no skaitļa ir simtdaļa no šī skaitļa un tiek apzīmēts kā 1%. Tāpēc 100% no šī skaitļa ir vienādi ar pašu skaitli, tāpat kā 20% no skaitļa ir vienādi ar divdesmit simtdaļām no šī skaitļa. Jums būs nepieciešams kalkulators un matemātikas pamatzināšanas. Izvietojuma sponsors P&G Raksti par tēmu "Kā atrast procentus

Vārds "procenti" nozīmē skaitļa simtdaļu, un daļdaļa attiecīgi ir daļa no kaut kā. Tāpēc, lai noteiktu skaitļa procentuālo daļu, ir jāatrod tā daļa, ņemot vērā, ka sākotnējais skaitlis ir vesels simts. Lai veiktu šo darbību, jums ir jāspēj atrisināt proporcijas. Sponsors

Cilvēks pastāvīgi saskaras ar nepieciešamību aprēķināt procentus, dažreiz pat nemanot. Un ne tikai matemātikas eksāmenā, bet arī, piemēram, mēģinot noteikt, kādu daļu no kopējiem ģimenes ienākumiem veido komunālie maksājumi vai bērnudārza nodeva. Un daudzi

Ne tikai skolēniem ir jārisina problēmas, kas saistītas ar procentiem. Parasti skolas uzdevumos ir jāatrod vai nu noteikta procentu skaita skaitliskā izteiksme, vai arī tas, cik procentu ir šis vai cits skaitlis. Lai veiksmīgi tiktu galā ar šādiem uzdevumiem, vispirms ir

Pateicoties pieredzei, mēs noteikti zinām, kādas bailes skolēnos izraisa noteiktas tēmas neatkarīgi no tā, kurā klasē viņi mācās un cik daudz zināšanu viņiem ir izdevies uzkrāt savās “kasēs”.

Viena no šīm tēmām ir pētot procentus. Kāpēc skolēni cenšas no tiem izvairīties? Tas ir arī saprotams. Viņiem tas ir tik "baidīgs" jēdziens, ka, tiklīdz viņi dzird šo terminu problēmas tekstā, viņi gandrīz rāpjas zem rakstāmgalda, lai paslēptos.

Ir vairāki iemesli.

Protams, pirmā lieta ir materiāla nezināšana. Otrkārt…

Mēs varējām tur apstāties. Jo pietiek ar pirmo iemeslu, lai saprastu: studentiem nav izveidojusies PAREIZA izpratne par to, kas ir “procenti”. Tas nozīmē, ka turpmākā materiāla uztvere būs pretrunā viņu zināšanām par šo tēmu.

Bet no kurienes rodas pārpratums? Ļoti vienkārši. Es iztēlojos noteiktu loģisku ķēdi, kas galu galā noved pie motivācijas un praktiskas fokusa trūkuma uz nodarbībā skaidroto interesējošo tēmu.

Vārdu sakot, interese ir viss!

Būs interese – būs uzmanība, līdz ar to arī stimuls uz to pētot procentus. Un no turienes nāk vēlme saprast un saprast. Un materiāla iegaumēšana (ja tas ir nepieciešams; personīgi es par to neesmu pārliecināts) nāks pati par sevi.

Un šajā rakstā es vēlos sniegt dažus ikdienas faktus, bet ar matemātisku noslieci uz tēmu “Interese”. Jo es domāju, ka pilnīgi katrs no mums ar šo jēdzienu saskaras katru dienu, bet varbūt mēs par to pat nezinām.

Kur mēs varam "atklāt" interese? PILNĪGI visur. Paskaties pats.

1) 80% miltu iegūst no kviešiem.

2) Piens dod 25% saldā krējuma, un skābais krējums dod 20% sviesta.

3) Cukurbietes satur 20% cukura.

4) Sēnes kaltējot zaudē 79% mitruma.

5) Bite vienā reizē pārnēsā 60% no 1 grama nektāra.

6) Cilvēkam ir 7,5% asiņu no viņa kopējā ķermeņa svara.

7) Priede katru gadu pieaug par 15%.

8) Misiņš ir cinka un vara sakausējums attiecīgi 40% un 60%.

9) 1 kubikmetrs kvieši sver 70% no 1 tonnas, sniegs - 14,3% no 1 tonnas, bet gaiss - 0,13% no tonnas.

10) Vārnas lidojuma ātrums ir 68% no rāva lidojuma ātruma.

Es ceru, ka iepriekš minētie fakti ir vismaz kaut kādā veidā devuši jums ideju, lai pārliecinātos, ka mēs katrā solī sastopamies ar procentiem.

Mēs pat arvien biežāk lietojam šo terminu sarunvalodā.

• “Darbs par procentiem” - darbs par atlīdzību, kas aprēķināts atkarībā no peļņas vai apgrozījuma.
• “Es to simtprocentīgi garantēju” - uzticams visos aspektos; var pilnībā uzticēties.
• “Uz banku uz procentiem” - noguldiet naudu noguldījumā ar iespēju palielināt ieguldīto naudu.

Tagad jautājums ir cits: kā saprast, ko šie dati nozīmē. Tā sakot,

Pagaidām nodarbosimies ar teoriju.

Procenti - (lat. "pro centum") viena simtdaļa. Apzīmēts ar "%" zīmi. Lieto, lai norādītu kaut kāda proporciju attiecībā pret veselumu. Piemēram, 17% no 500 kg nozīmē 17 daļas no 5 kg katra, tas ir, 85 kg.

Tie. ja visu sadala 100 vienādās daļās, tad 1 daļa nozīmēs 1%. 1% = 1/100

No šejienes ir viegli saprast, ka:

Ir skaidrs, ka ar to viss nebeidzas pētot procentus. Gluži pretēji, tas tikai sākas. Par šo tēmu ir dažāda veida problēmas. Un turpmākajos rakstos mēs tos noteikti analizēsim. Un šī raksta beigās es vēlreiz ierosinu ienirt pasaulē, kurā “galvenais varonis” ir interese.

• Vai zinājāt, ka tālajā 15.-16.gadsimtā Chonos kultūras indiāņi (Ekvadora) kausēja varu ar 99,5% saturu.
• Apmēram 10 procenti amerikāņu mājsaimnieču ģērbj savus mājdzīvniekus Helovīna kostīmos un99 procenti no Amerikas Savienotajās Valstīs pārdotajiem ķirbjiem kalpo tikai vienam mērķim: svētku rotājumiem.
• 14% ēd arbūzu kopā ar sēklām.
• Hameleona mēle ir par 200% garāka par ķermeni.
• Tikai 1% baktēriju izraisa slimības cilvēkiem.
• Medūzas 95% sastāv no ūdens.
• Tikai 55% amerikāņu zina, ka Saule ir zvaigzne.
• 10 procenti vīriešu un 8 procenti sieviešu uz Zemes ir kreiļi.
• Galvenās ES valstu iedzīvotāju bažas: Kodolkarš - 49%, klimata katastrofas - 43%, vides piesārņojums - 36%, avārijas kodolreaktoros - 35%, cilvēku klonēšana - 28%, nāvējošu baktēriju noplūdes risks no gēnu laboratorijām. - 26%, izzušanas meži - 20%, dzīvnieku un augu sugu izzušana - 17%, naftas krājumu izsīkšana - 7%, informācijas pārpalikums - 5%, meteorītu kritumi - 3%, citplanētiešu invāzija - 1%.
• Un visbeidzot vēl viens pārsteidzošs fakts: cilvēka zīlīte palielinās par 45 procentiem, kad cilvēks skatās uz kaut ko patīkamu.

Es ceru, ka jums, dārgais lasītāj, bija prieks atrast sevi rakstā, kas veltīts procentu pētīšanai, un uzzināt kaut ko jaunu un noderīgu sev.

Konkrētas problēmas, kas saistītas ar procentiem, tiks aplūkotas atsevišķā rakstā.

Lūdzu, atstājiet savu komentāru par šo jautājumu zemāk.

9.B klases skolnieks

Vadītāja: Olga Sergeevna Drobkova, matemātikas skolotāja

IEVADS

Procenti ir viena no grūtākajām tēmām matemātikā, un daudziem skolēniem ir grūti vai pat nespēj atrisināt procentuālas problēmas. Izpratne par procentiem un prasme veikt procentu aprēķinus ir nepieciešama ikvienam cilvēkam. Es uzskatu, ka šī tēma ir aktuāla mūsu laikā. Galu galā procenti ir sastopami gandrīz visās cilvēka darbības jomās. Jūs nevarat iztikt bez jēdziena “procenti” ne grāmatvedībā, ne finansēs, ne statistikā. Lai aprēķinātu darbinieka algu, jāzina nodokļu atskaitījumu procentuālais daudzums; lai atvērtu kontu krājkasē vai ņemtu kredītu, mūsu vecākus interesē noguldījuma summas procentu apmērs un aizdevuma procenti; Lai zinātu aptuveno cenu kāpumu nākamgad, mūs interesē inflācijas procenti. Tirdzniecībā visbiežāk tiek lietots jēdziens “procenti”. Mēs ļoti bieži varam dzirdēt par atlaidēm, uzcenojumiem, uzcenojumiem, peļņu, kredītiem utt. - tas viss ir interese. Mūsdienu cilvēkam ir labi jāorientējas lielā informācijas plūsmā un jāpieņem pareizi lēmumi dažādās dzīves situācijās. Lai to izdarītu, jums labi jāveic procentu aprēķini.

Tādējādi, pētot šo tēmu, mēs uzzināsim, kāda nozīme mūsu dzīvē ir procentiem.

Pētījuma mērķis: parādīt procentuālo aprēķinu pielietojuma plašumu īsta dzīve .

Uzdevumi:studēt literatūru par šo tēmu; apsvērt nepieciešamību izmantot procentus; izpētīt cilvēka darbības jomas, kurās tiek izmantoti procenti.

PROCENTU JĒDZIENS

Procenti ir viena simtdaļa no skaitļa. Procenti tiek rakstīti, izmantojot zīmi %.

Lai procentus pārvērstu par daļskaitli, noņemiet % zīmi un daliet skaitli ar 100.

Lai decimāldaļdaļu pārvērstu procentos, šī daļa jāreizina ar 100 un jāpievieno zīme %.

Lai pārvērstu daļskaitli procentos, vispirms tā ir jāpārvērš decimāldaļā, pēc tam jāreizina ar 100 un jāpievieno zīme %.

Kā jūs saprotat, procenti ir cieši saistīti ar parastajām un decimāldaļām. Tāpēc ir vērts atcerēties dažas vienkāršas vienlīdzības. Ikdienā jums jāzina skaitliskās attiecības starp daļskaitļiem un procentiem. Tātad puse - 50%, ceturtdaļa - 25%, trīs ceturtdaļas - 75%, viena piektdaļa - 20%, un trīs piektdaļas - 60%.

Zinot no galvas attiecības no zemāk esošās tabulas, jums būs vieglāk atrisināt daudzas problēmas.

2. PROCENTU PROBLĒMU PAMATVEIDI

Galvenie interesējošie uzdevumi ir šādi:

1. piemērs. Skolā mācās 940 skolēni. No tiem 15% mācās mūzikas skolā. Cik skolēnu apmeklē mūzikas skolu?

Risinājums : tā kā 15% = 0,15, tad, lai atrisinātu problēmu, jums jāreizina 940 ar 0,15. Mēs saņemam,

Tas nozīmē, ka mūzikas skolu apmeklē 141 audzēknis.

Atbilde: 141 skolēns.

Skaitļa atrašana pēc procentiem
2. piemērs. IN skolas bibliotēka 2100 mācību grāmatu, kas ir 40% no visām grāmatām. Cik grāmatu ir skolas bibliotēkas krājumā?

Risinājums: Kopējo grāmatu skaitu apzīmēsim ar x – tas ir 100%. Pēc nosacījuma 40% ir mācību grāmatas, to ir 2100. Izveidosim proporciju: Tātad,

Atbilde: skolas bibliotēkā ir 5250 grāmatas.

3. piemērs. Skolā mācās 800 audzēkņu, no tiem 16 ir teicamnieki. Cik procenti skolēnu saņem atzīmes "5"?

Risinājums: Skolā mācās 800 skolēnu – tas ir 100%. To skolēnu procentuālais daudzums, kuri mācās ar atzīmi “5”, tiks apzīmēts ar x. Izveidosim proporciju. nozīmē,

Atbilde: 2% studentu ir izcilnieki.

3 . PĒTĪJUMS PAR TĒMU "INTERESE"

Lai noskaidrotu, kādu vietu mūsu dzīvē ieņem procenti, nolēmām noskaidrot, kur procentus var atrast:

1. Veikalos svētkos parādās atlaides, kas tiek izteiktas procentos, piemēram, apģērbu veikalā, pērkot 2 preces, ir 10% atlaide utt.

Uzdevums . Iepērcies sezonas izpārdošanā virsdrēbes samazināja cenas kažokiem vispirms par 20%, bet pēc tam vēl par 10%. Cik rubļus var ietaupīt, pērkot kažoku, ja pirms cenas pazemināšanas tie maksāja 18 000 rubļu?

Risinājums:

1 veids, kā atrisināt:

Kažokādas izmaksas ir 18 000 rubļu - tas ir 100%. Noskaidrosim, cik rubļu būs 20% atlaide: , Tātad, berzēt. Tādējādi kažokādas cena būs 18000-3600 = 14400 rubļu.Pēc otrās atlaides kažoku jaunā cena samazinājās vēl par 10%, kas sastādīs 1440 rubļus. Rezultātā kažoku cena samazinājās par 5040 rubļiem;

2 veidi, kā atrisināt:

18000-18000●0,2=14400 (rub) - kažoka cena pēc 20% atlaides

14400-14400●0,1=12960 (berzēt) - kažoka cena pēc otrās 10% atlaides

18000-12960=5040 (berzēt) - pircējs ietaupīs.

2. Auduma sastāvu norāda procentos, piemēram, iegādājoties uzvalku, kura sastāvā ir 60% kokvilnas un 40% sintētikas u.c.;

3. Procentos izteikti dažādi statistikas dati par iedzīvotāju skaitu, par atsevišķu produktu izlaidi utt.;

4. Iegādājoties jebkuru preci uz kredīta, jāprot aprēķināt procentus;

5. Skolā skolēnu sekmes un zināšanu kvalitāti aprēķina procentos;

6. Grāmatveži uzkrājot algas. Piemēram, pie mums Širas ciemā ir piemaksa 30% par ziemeļiem un 30% par lauku.

Uzdevums . Pieņemot darbā, uzņēmuma direktors piedāvā jums algu 14 000 rubļu. Kādu summu saņemsiet pēc papildus maksājumiem: 30% ziemeļu un 30% lauku, un ieturējuma iedzīvotāju ienākuma nodokli?

Risinājums:

1 veids, kā atrisināt:

IN Šis papildu maksājums ir 60%, t.i.. nozīmē, rubļi veido pabalstus. Tādējādi uzkrājums ar papildu maksājumiem būs vienāds ar 14000 + 8400 = 22400 (14000 * 1,6 = 22400). Tagad aprēķināsim, cik jūs saņemsiet pēc ienākuma nodokļa ieturēšanas privātpersonām(šis nodoklis ir 13%) :

berzēt. - sastāda nodokli

22400-2912=19488 rubļi.

2 veidi, kā atrisināt:

grāmatvedībā,

ikdienas dzīvē utt.

Grūti nosaukt jomu, kurā netiek izmantoti procenti. Ir ļoti grūti pilnībā apsvērt procentu aprēķinu izmantošanu dzīvē, jo interese tiek izmantota visās cilvēka dzīves jomās.

Savā darbā es parādīju procentu jēdziena lietojumu dažādu uzdevumu risināšanā un apskatīju galvenos problēmu veidus, kas saistīti ar procentiem.

Šī tēma atstāj plašu lauku turpmākiem pētījumiem. Problēmām, kas saistītas ar procentiem, ir liela praktiska nozīme un iegūtās zināšanas, ceru, man noderēs turpmākajā dzīvē. Plānoju attīstīt iesākto tēmu un sīkāk aplūkot procentu likmes banku sektorā. Lai būtu mūsdienīgs cilvēks, ir jāprot pašam aprēķināt iespējamos kredīta maksājumus vai vismaz aptuveni jāzina, vai ir vērts ņemt kredītu vai kredītu.

BIBLIOGRĀFIJA

1. Borovskihs A. Kas ir procenti? / A. Borovskihs, N. Rozovs // Matemātika.- 2012. - Nr.1. - 23.-25.lpp.;
2. Valieva Yu. Interese par pagātni un tagadni / Yu. Valieva // Matemātika. - 2012. - Nr. 9. - 13.-15.lpp.;
3. Djatlovs V. Problēmu risināšanas tehnoloģijas. 15. lekcija. Teksta problēmas, kas saistītas ar interesi un frakcionētu saturu / V. Djatlovs // Matemātika - 2013. - Nr. 11. - 44.-49.lpp.;
4. Zubareva I.I. Matemātika. 5. klase: izglītojoša. vispārējās izglītības skolēniem. iestādes / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičs. - 12. izdevums, red. un papildu - M.: Mnemosyne, 2012. - 270 lpp.;
5. Petrova I.N. Interese visiem gadījumiem / I.N. Petrova. - M., Izglītība, 2006;
6. Tumaševa O.V. Matemātikas stunda 5.-6.klasē: mācību līdzeklis / O.V. Tumaševa; Krasnojarska Valsts Ped. Universitāte nosaukta vārdā V.P. Astafjeva. - Krasnojarska, 2007 - 104 lpp.