समीकरण. कंप्यूटर का उपयोग करके पद्धतिगत विकास

सामग्री:

आप सरल बीजगणितीय समीकरणों को केवल दो चरणों में हल कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, जोड़, घटाव, गुणा या भाग का उपयोग करके एक चर को अलग करना पर्याप्त है। क्या आप बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीके जानना चाहते हैं? पढ़ते रहिये।

कदम

1 एक अज्ञात के साथ समीकरण हल करना

1. 1 समीकरण लिखिए.बीजगणितीय समीकरण को हल करने के लिए, सबसे पहले आपको इसे लिखना होगा, जिससे सब कुछ तुरंत स्पष्ट हो जाएगा। मान लीजिए कि हम निम्नलिखित समीकरण से निपट रहे हैं: -4x + 7 = 15.
2. 2 हम तय करते हैं कि वेरिएबल को अलग करने के लिए हम किस क्रिया का उपयोग करेंगे।अगला कदम यह पता लगाना है कि एक तरफ "-4x" और दूसरी तरफ स्थिरांक (पूर्णांक) को कैसे संग्रहीत किया जाए। ऐसा करने के लिए, हम "समरूपता के नियम" का उपयोग करते हैं और +7 के विपरीत संख्या पाते हैं, यह -7 है। अब हम समीकरण के दोनों पक्षों से 7 घटाते हैं ताकि उस भाग में "+7" जहां चर स्थित है, 0 में बदल जाए। हम बस एक तरफ 7 के नीचे "-7" लिखते हैं और दूसरी तरफ 15 के नीचे लिखते हैं ताकि समीकरण मूलतः नहीं बदलता.
   • बीजगणित का स्वर्णिम नियम याद रखें। हम समीकरण के एक पक्ष के साथ जो भी करते हैं, वही दूसरे पक्ष के साथ भी करते हैं। इसलिए हमने 15 में से 7 भी घटा दिया.
3. 3 हम समीकरण के दोनों ओर एक स्थिरांक जोड़ते या घटाते हैं।इस तरह हम वेरिएबल को अलग करते हैं। +7 में से 7 घटाने पर बायीं ओर 0 प्राप्त होता है। +15 में से 7 घटाने पर दाहिनी ओर 8 प्राप्त होता है।
   • -4x + 7 = 15 =
   • -4x = 8
4. 4 भाग देने या गुणा करने से हमें चर के गुणांक से छुटकारा मिल जाता है।इस उदाहरण में गुणांक -4 है. इससे छुटकारा पाने के लिए आपको समीकरण के दोनों पक्षों को -4 से विभाजित करना होगा।
   • फिर, सभी क्रियाएं दोनों तरफ से की जाती हैं, यही कारण है कि आप ÷ -4 को दो बार देखते हैं।
5. 5 वेरिएबल खोजें.ऐसा करने के लिए, बाईं ओर (-4x) को -4 से विभाजित करें, आपको x मिलता है। -2 प्राप्त करने के लिए (8) के दाएँ पक्ष को -4 से विभाजित करें। अत: x = -2. समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: - घटाव और विभाजन -।

2 दोनों पक्षों के चर वाले समीकरणों को हल करना

1. 1 समीकरण लिखिए.हम समीकरण हल करेंगे: -2x - 3 = 4x - 15. सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि चर समान हैं: इस मामले में x.
2. 2 स्थिरांकों को समीकरण के दाईं ओर अनुवाद करें।ऐसा करने के लिए आपको जोड़ या घटाव का उपयोग करना होगा। स्थिरांक -3 है, इसलिए हम +3 का विपरीत लेते हैं और इसे दोनों पक्षों में जोड़ते हैं।
   • बाईं ओर +3 जोड़ने पर (-2x -3) हमें -2x प्राप्त होता है।
   • दाईं ओर +3 जोड़ने पर (4 घंटे -15) हमें 4x -12 प्राप्त होता है।
   • तो (-2x - 3) +3 = (4x - 15) +3 = -2x = 4x - 12
   • संशोधित समीकरण: -2x = 4x -12
3. 3 हम चिह्न परिवर्तन के साथ वेरिएबल को बाईं ओर ले जाते हैं।हमें -6x = -12 मिलता है
   • -2x - 4x = (4x - 12) - 4x = -6x = -12
4. 4 वेरिएबल ढूँढना.ऐसा करने के लिए, दोनों पक्षों को -6 से विभाजित करें और x = 2 प्राप्त करें।
   • -6x ÷ -6 = -12 ÷ -6
   • एक्स = 2

3 दो चरणों में समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके

1. 1 समीकरण को हल किया जा सकता है और चर को दाईं ओर छोड़ने से कोई फर्क नहीं पड़ता।आइए समीकरण 11 = 3 - 7x लें। सबसे पहले, दाईं ओर के 3 को हटा दें, ऐसा करने के लिए हम दोनों तरफ से 3 घटाते हैं। फिर दोनों पक्षों को -7 से विभाजित करें और x प्राप्त करें:
   • 11 = 3 - 7x =
   • 11 - 3 = 3 - 3 - 7x =
   • 8 = - 7x =
   • 8/-7 = -7/7x
   • -8/7 = x या -1.14 = x
2. 2 हम समीकरण को विभाजित करके नहीं, बल्कि गुणा करके दूसरी क्रिया से हल करते हैं।सिद्धांत वही है. आइए समीकरण x/5 + 7 = -3 लें। सबसे पहले, दोनों पक्षों से 7 घटाएं और फिर x प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें:
   • x/5 + 7 = -3 =
   • (x/5 + 7) - 7 = -3 - 7 =
   • x/5 = -10
   • x/5 * 5 = -10 * 5
   • एक्स = -50

कक्षा: 4

लक्ष्य: उन समीकरणों को हल करने के व्यावहारिक तरीकों पर विचार करें जिनके लिए एक से अधिक अंकगणितीय ऑपरेशन की आवश्यकता होती है।

पाठ उपकरण: मानसिक अंकगणित की कंप्यूटर प्रस्तुति, समीकरणों वाले कार्ड, समस्याओं पर स्वतंत्र कार्य के लिए तीन स्तरों के कार्ड, फीडबैक क्यूब

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण
पाठ के लिए तैयारी की जाँच करना। कॉपियों में नंबर लिखा है, बढ़िया काम.

2. मौखिक गिनती(कंप्यूटर प्रस्तुति, स्लाइड संख्या 1)
खेल "घोंघा प्रतियोगिता"
घोंघा प्रतियोगिता में आपका पसंदीदा कुत्ता अलीक। दो घोंघों को पहाड़ की चोटी पर चढ़ना होगा। उनमें से कौन सबसे पहले बाहर आएगा? हमारा घोंघा बाईं ओर नंबर 1 है। घोंघा तभी कदम उठाता है जब हमें अभिव्यक्ति का सही अर्थ पता चल जाता है।
आप तैयार हैं?
प्रारंभ करने का संकेत पहले ही बज चुका है। हम प्रक्रिया को दोहराते हैं और अभिव्यक्तियों के सही अर्थ बताते हैं।

(122 + 18) : 70 = 2
(64: 8 + 20) : 7 = 4
20 · (26 + 14) : 100 = 8
1 (30 + 2) – 4 4 = 16
5 4 + 12 = 32
(400 – 300) – 36 = 64

हमारे पास संख्याओं की एक श्रृंखला है.
2, 4, 8, 16, 32, 64
इस श्रृंखला के संकलन में आपने क्या पैटर्न देखा? (प्रत्येक अगली संख्या दोगुनी हो जाती है)
संख्याओं की इस शृंखला को जारी रखें और कम से कम अगली तीन संख्याओं के नाम बताएं। (128, 256, 512...)
बहुत अच्छा! हमने सब कुछ सही ढंग से तय किया, इसलिए हमारा घोंघा पहाड़ की चोटी पर है।
प्रत्येक नंबर में एक एन्क्रिप्टेड अक्षर होता है। आइए उन्हें पलटें और आज के पाठ का विषय पढ़ें।

2 4 8 16 32 64 128 256 512
समीकरण

समीकरण किसे कहते हैं?
किसी समीकरण का मूल क्या है?
किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है?
हम पहले से ही जानते हैं कि सरल समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, और आज हम जटिल समीकरणों को हल करने से परिचित होंगे जहाँ हमें कई अंकगणितीय ऑपरेशन करने की आवश्यकता होती है।

3. सरल समीकरणों को हल करना। नई सामग्री के परिचय की तैयारी.
एक चुंबकीय बोर्ड पर यादृच्छिक क्रम में समीकरण वाले कार्ड होते हैं।
इन सभी समीकरणों को किन समूहों में विभाजित किया जा सकता है? (समीकरण 3 कॉलम में वितरित हैं)

1) 7000 – x = 2489
7000 – x = 3489
7000 – x = 1689
हमने इन समीकरणों को पहले समूह में क्यों रखा? (सरल समीकरणसाथ समान रूप से कम)क्या हम उन्हें हल कर सकते हैं?
उनमें से सबसे बड़े मूल वाला समीकरण ढूंढें और उसे हल करें (बोर्ड पर एक छात्र)

2) 71: x = 20 + 7
एक्स: 3 = 16 + 11 ( ये समीकरण हैं जिनके दाईं ओर अभिव्यक्ति है)
क्या हम दूसरे कॉलम के समीकरण हल कर सकते हैं?
किसी भी समीकरण को हल करें, लेकिन दाईं ओर के योग को अंतर से बदलें। समीकरण का मूल वही रहना चाहिए. (ब्लैकबोर्ड पर दो छात्र)

3) (490 - x) - 250 = 70

शेष समीकरण देखें. क्या इसे हल करना हमारे लिए आसान है? क्यों?

4. नई सामग्री पर काम करना. (कक्षा के साथ सीधी बातचीत, जिसके दौरान समीकरण के समाधान पर विचार किया जाता है)

(490 - x) - 250 = 70
490 - x = 70 + 250
490 - x = 320
x = 490 – 320
एक्स = 170
(490 – 170) – 250 = 70
70 = 70
उत्तर: 70

5. समेकन.

1) समीकरण हल करना (ब्लैकबोर्ड पर मजबूत छात्रों में से एक)
5 ए + 500 = 4500:5
5 ए + 500 = 900
5 ए = 900 - 500
5 ए = 400
ए = 400:5
ए = 80
5 80 + 500 = 900
900 = 900
उत्तर: 80

समीकरणों को हल करें.
ए+ 156 = 17 ∙ 20 (1604 – y) – 108 = 800
252: 36 ∙ x = 560 103300: (x + 297) = 25 ∙2

हमने दो नए जटिल समीकरण हल किए। आपके सामने जो समीकरण हैं, उन्हें देखिए. क्या वे सभी जटिल हैं? इनमें से कौन सा समीकरण बेजोड़ है? क्यों? बाकी बाईं ओर कई क्रियाओं में एक अभिव्यक्ति है। उनमें से उन कार्यों का क्रम खोजें जिनका आज पहले ही सामना किया जा चुका है।

(1604 – वाई) – 108 = 800
1604 – y = 800 + 108
1604 - वाई = 908
y = 1604 – 908
वाई = 696
(1604 – 696) – 108 = 800
800 = 800
उत्तर: 696
समीकरण को जोड़ियों में हल करें. एक छात्र बाद में जाँच के लिए बोर्ड को घुमाता है।

6. समस्या का समाधान
3 स्तरों के कार्डों का उपयोग करके स्वतंत्र कार्य। पहले चरण का कार्य पूरा करने के बाद, छात्र दूसरे चरण का कार्य पूरा करने के लिए आगे बढ़ता है, फिर तीसरा। (विभेदित कार्य की विभिन्न विधियाँ)

सामने से जाँच

1) 25700 - x = 12350
x = 25700 – 12350
एक्स = 13350
25700 – 13350 = 12350
12350 = 12350
उत्तर: 13350 पौधे।

2) 25700 - x = 12000 + 350

3) 25700 - (x + 8580) = 12350
x + 8580 = 25700 – 12350
x + 8580 = 13350
x = 13350 – 8580
एक्स = 4770
25700 – (4770 + 8580) =12350
12350 = 12350
उत्तर: 4770 नीबू।
4) और कौन सा समीकरण बनाया जा सकता है?
(25700 - x) - 8580 = 12350

हमने तीन समीकरण बनाकर तीन समस्याएं हल कीं। कौन सा समीकरण जटिल माना जाता है? क्यों?

7. गृहकार्य.
विचार करें कि पृष्ठ 106 पर पाठ्यपुस्तक में समीकरणों को कैसे हल किया गया था और मुद्रित नोटबुक संख्या 44 (ए) में समीकरण को हल करें।
समस्या संख्या 47 का समाधान करें। अतिरिक्त कार्य: इस समस्या के बारे में और कौन से प्रश्न पूछे जा सकते हैं?

8. पाठ सारांश.
आपने कक्षा में कौन से समीकरण हल करना सीखा?
क्या यह कठिन था?
यह किसके लिए आसान था?

हाल ही में, एक स्कूली बच्चे की माँ जिसके साथ मैं पढ़ता हूँ, फोन करती है और मुझसे बच्चे को गणित समझाने के लिए कहती है, क्योंकि वह समझ नहीं पाता है, लेकिन वह उस पर चिल्लाती नहीं है और उसके बेटे के साथ बातचीत नहीं हो पाती है।

मेरे पास गणितीय दिमाग नहीं है, यह रचनात्मक लोगों के लिए विशिष्ट नहीं है, लेकिन मैंने कहा कि मैं देखूंगा कि वे क्या कर रहे हैं और कोशिश करूंगा। और यही हुआ।

मैंने अपने हाथों में ए4 पेपर की एक शीट, सादा सफेद, फेल्ट-टिप पेन, एक पेंसिल ली और जो समझने, याद रखने, ध्यान देने लायक था, उस पर प्रकाश डालना शुरू कर दिया। और ताकि आप देख सकें कि यह आंकड़ा कहां जाता है और कैसे बदलता है।

बाईं ओर से दाईं ओर के उदाहरणों की व्याख्या।

उदाहरण 1

धन चिह्न के साथ चौथी कक्षा के लिए समीकरण का एक उदाहरण।

सबसे पहली कार्रवाई यह देखना है कि हम इस समीकरण में क्या कर सकते हैं? यहां हम गुणा कर सकते हैं. हम 80*7 को गुणा करते हैं और 560 प्राप्त करते हैं। इसे फिर से लिखें।

एक्स + 320 = 560 (हरे मार्कर से संख्याओं को हाइलाइट करें)।

X = 560 – 320। हम ऋण इसलिए डालते हैं क्योंकि जब हम किसी संख्या को स्थानांतरित करते हैं, तो उसके सामने का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। चलिए घटाव करते हैं.

एक्स = 240 जांच अवश्य करें। जाँच से पता चलेगा कि हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया है या नहीं। x के स्थान पर हम वह संख्या डालते हैं जो हमें प्राप्त हुई थी।

इंतिहान:

240 + 320 = 80*7 हम संख्याओं को जोड़ते हैं और उन्हें दूसरी तरफ से गुणा करते हैं।

यह सही है! इसलिए हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया!

उदाहरण क्रमांक 2

ऋण चिह्न के साथ चौथी कक्षा के लिए समीकरण का उदाहरण।

एक्स – 180 = 240/3

पहला कदम यह देखना है कि हम इस समीकरण में क्या कर सकते हैं? इस उदाहरण में हम विभाजित कर सकते हैं. हम 80 प्राप्त करने के लिए 240 को 3 से विभाजित करते हैं। समीकरण को फिर से लिखें।

एक्स - 180 = 80 (हरे मार्कर से संख्याओं को हाइलाइट करें)।

अब हम देखते हैं कि हमारे पास x (अज्ञात) और संख्याएँ हैं, लेकिन एक दूसरे के बगल में नहीं, बल्कि एक समान चिह्न द्वारा अलग की गई हैं। एक दिशा में एक्स, दूसरी दिशा में संख्याएँ।

X = 80 + 180 हम धन चिह्न इसलिए लगाते हैं क्योंकि किसी संख्या को स्थानांतरित करते समय, संख्या से पहले जो चिह्न था वह विपरीत में बदल जाता है। हम गिनते है।

एक्स = 260 हम सत्यापन कार्य करते हैं। जाँच से पता चलेगा कि हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया है या नहीं। x के स्थान पर हम वह संख्या डालते हैं जो हमें प्राप्त हुई थी।

इंतिहान:

260 – 180 = 240/3

यह सही है!

उदाहरण संख्या 3

400 – x = 275 + 25 संख्याएँ जोड़ें।

400 - x = 300 संख्याएँ एक समान चिह्न द्वारा अलग की जाती हैं, x ऋणात्मक है। इसे सकारात्मक बनाने के लिए, हमें इसे समान चिह्न के माध्यम से ले जाने की आवश्यकता है, हम एक तरफ संख्याएँ एकत्र करते हैं, दूसरी तरफ x।

400 - 300 = x संख्या 300 धनात्मक थी, लेकिन जब दूसरी ओर ले जाया गया, तो इसका चिह्न बदल गया और ऋण बन गया। हम गिनते है।

चूँकि इस तरह लिखने की प्रथा नहीं है, और समीकरण में पहला x होना चाहिए, हम बस उन्हें स्वैप करते हैं।

इंतिहान:

400 - 100 = 275 + 25 आइए गिनें।

यह सही है!

उदाहरण संख्या 4

ऋण चिह्न के साथ चौथी कक्षा के लिए एक समीकरण का एक उदाहरण, जहां x मध्य में है, दूसरे शब्दों में, एक समीकरण का एक उदाहरण जहां x मध्य में ऋणात्मक है।

72 – x = 18*3 हम गुणा करते हैं। आइए उदाहरण को फिर से लिखें।

72 – x = 54 हम संख्याओं को एक दिशा में पंक्तिबद्ध करते हैं, x दूसरी दिशा में। संख्या 54 का चिह्न विपरीत में बदल जाता है क्योंकि यह समान चिह्न के ऊपर से छलांग लगाता है।

72 – 54 = x आइए गिनें।

18 = x सुविधा के लिए स्थानों की अदला-बदली करें।

इंतिहान:

72 – 18 = 18 * 3

यह सही है!

उदाहरण क्रमांक 5

चौथी कक्षा के लिए घटाव और जोड़ के साथ x समीकरण का उदाहरण।

एक्स - 290 = 470 + 230 जोड़ें।

X – 290 = 700 हमने संख्याओं को एक तरफ रख दिया।

X = 700 + 290 आइए गिनें।

इंतिहान:

990 - 290 = 470 + 230 हम योग करते हैं।

यह सही है!

उदाहरण संख्या 6

चौथी कक्षा के लिए गुणा और भाग के लिए x समीकरण का एक उदाहरण।

15 * x = 630/70 हम विभाजन करते हैं। आइए समीकरण को फिर से लिखें।

15 * x = 90 यह 15x = 90 के समान है हम एक तरफ x छोड़ते हैं, दूसरी तरफ संख्याएँ। यह समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है.

X = 90/15, जब संख्या 15 को स्थानांतरित किया जाता है, तो गुणन चिह्न विभाजन में बदल जाता है। हम गिनते है।

इंतिहान:

15*6 = 630 / 7 हम गुणा और घटाव करते हैं।

यह सही है!

अब बात करते हैं बुनियादी नियमों के बारे में:

1. गुणा करना, जोड़ना, विभाजित करना या घटाना;

   हम जो कर सकते हैं उसे करने से समीकरण थोड़ा छोटा हो जाएगा।

2. एक दिशा में एक्स, दूसरी दिशा में संख्याएँ।

   एक दिशा में अज्ञात चर (यह हमेशा x नहीं होता, यह कोई अन्य अक्षर हो सकता है), दूसरी दिशा में संख्याएँ।

3. जब आप x या किसी संख्या को समान चिह्न से स्थानांतरित करते हैं, तो उनका चिह्न विपरीत में बदल जाता है।

   यदि संख्या धनात्मक थी, तो उसे स्थानांतरित करते समय हम संख्या के सामने ऋण चिह्न लगा देते हैं। और इसके विपरीत, यदि संख्या या x पर ऋण चिह्न है, तो बराबर के माध्यम से स्थानांतरित करते समय हम प्लस चिह्न लगाते हैं।

4. यदि अंत में समीकरण किसी संख्या से शुरू होता है, तो बस उसे बदल दें।
5. हम हमेशा जाँच करते हैं!

होमवर्क, क्लास वर्क, टेस्ट करते समय, आप हमेशा कागज का एक टुकड़ा ले सकते हैं और पहले उस पर लिख सकते हैं और उसकी जांच कर सकते हैं।

इसके अतिरिक्त, हमें इंटरनेट पर समान उदाहरण, अतिरिक्त पुस्तकें और मैनुअल मिलते हैं। संख्याओं को बदलना नहीं, बल्कि तैयार उदाहरण लेना आसान है।

बच्चा जितना अधिक स्वयं निर्णय लेगा और स्वयं अध्ययन करेगा, उतनी ही तेजी से वह सामग्री सीखेगा।

यदि कोई बच्चा समीकरण वाले उदाहरणों को नहीं समझता है, तो उसे उदाहरण समझाना और उसे मॉडल के अनुसार बाकी काम करने के लिए कहना उचित है।

यह इस बात का विस्तृत विवरण है कि किसी छात्र को x वाले समीकरणों को कैसे समझाया जाए:

• अभिभावक;
• स्कूली बच्चे;
• शिक्षक;
• दादा दादी;
• शिक्षकों की;

बच्चों को बोर्ड पर अलग-अलग क्रेयॉन के साथ सब कुछ रंग में करने की ज़रूरत है, लेकिन अफसोस, हर कोई ऐसा नहीं करता है।

मेरे अभ्यास से

लड़के ने गणित के मौजूदा नियमों के विपरीत, अपनी इच्छानुसार लिखा। एक समीकरण की जाँच करते समय अलग-अलग संख्याएँ थीं और एक संख्या (बाईं ओर) दूसरी (दाईं ओर वाली) के बराबर नहीं थी, उसने त्रुटि की तलाश में समय बिताया।

जब उनसे पूछा गया कि वह ऐसा क्यों करते हैं? जवाब यह था कि वह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहा था और सोच रहा था कि अगर उसने इसे सही किया तो क्या होगा।

इस मामले में, आपको हर दिन (हर दूसरे दिन) इसी तरह के उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता है। कार्यों को स्वचालितता में लाना, और निश्चित रूप से, सभी बच्चे अलग-अलग हैं, पहले पाठ से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

यदि माता-पिता के पास समय नहीं है, और अक्सर ऐसा होता है क्योंकि माता-पिता पैसा कमाते हैं, तो बेहतर होगा कि आप अपने शहर में एक शिक्षक खोजें जो बच्चे को पढ़ाई गई सामग्री समझा सके।

अब एकीकृत राज्य परीक्षा, परीक्षण, परीक्षण का युग है, अतिरिक्त संग्रह और मैनुअल हैं। बच्चे का होमवर्क करते समय माता-पिता को यह याद रखना चाहिए कि उन्हें स्कूल परीक्षा में शामिल नहीं किया जाएगा। बेहतर होगा कि आप इसे एक बार बच्चे को स्पष्ट रूप से समझा दें, ताकि बच्चा स्वतंत्र रूप से उदाहरणों को हल कर सके।

एक अज्ञात के साथ एक समीकरण, जो कोष्ठक खोलने और समान पदों को लाने के बाद, रूप लेता है

कुल्हाड़ी + बी = 0, जहाँ a और b मनमानी संख्याएँ हैं, कहलाती हैं रेखीय समीकरण एक अज्ञात के साथ. आज हम यह पता लगाएंगे कि इन रैखिक समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण के लिए, सभी समीकरण:

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - रैखिक।

अज्ञात का वह मान जो समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है, कहलाता है फ़ैसला या समीकरण की जड़ .

उदाहरण के लिए, यदि समीकरण 3x + 7 = 13 में अज्ञात x के स्थान पर हम संख्या 2 रखते हैं, तो हमें सही समानता 3 2 +7 = 13 प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि मान x = 2 समाधान या मूल है समीकरण का.

और मान x = 3 समीकरण 3x + 7 = 13 को वास्तविक समानता में नहीं बदलता है, क्योंकि 3 2 +7 ≠ 13. इसका मतलब यह है कि मान x = 3 कोई समाधान या समीकरण का मूल नहीं है।

किसी भी रैखिक समीकरण को हल करने से प्रपत्र के समीकरणों को हल करना कम हो जाता है

कुल्हाड़ी + बी = 0.

आइए समीकरण के बाईं ओर से मुक्त पद को दाईं ओर ले जाएं, b के सामने के चिह्न को विपरीत दिशा में बदलते हुए, हमें मिलता है

यदि a ≠ 0, तो x = ‒ b/a .

उदाहरण 1। समीकरण 3x + 2 =11 को हल करें.

आइए 2 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं, 2 के सामने के चिह्न को विपरीत दिशा में बदलते हुए, हमें मिलता है
3x = 11 – 2.

तो चलिए घटाव करते हैं
3x = 9.

x ज्ञात करने के लिए, आपको गुणनफल को किसी ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा, अर्थात
एक्स = 9:3.

इसका अर्थ यह है कि मान x = 3 समीकरण का हल या मूल है।

उत्तर: एक्स = 3.

यदि a = 0 और b = 0, तो हमें समीकरण 0x = 0 मिलता है। इस समीकरण के अनंत रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि जब हम किसी संख्या को 0 से गुणा करते हैं तो हमें 0 मिलता है, लेकिन b भी 0 के बराबर होता है। इस समीकरण का समाधान कोई भी संख्या है।

उदाहरण 2.समीकरण 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 को हल करें।

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

यहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:
0x = 0.

उत्तर: x - कोई भी संख्या.

यदि a = 0 और b ≠ 0, तो हमें समीकरण 0x = - b प्राप्त होता है। इस समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि जब हम किसी संख्या को 0 से गुणा करते हैं तो हमें 0 मिलता है, लेकिन b ≠ 0 मिलता है।

उदाहरण 3.समीकरण x + 8 = x + 5 को हल करें।

आइए बायीं तरफ अज्ञात वाले शब्दों को और दायीं तरफ मुक्त शब्दों को समूहित करें:
एक्स - एक्स = 5 - 8.

यहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:
0х = ‒3.

उत्तर: कोई समाधान नहीं.

पर आकृति 1 एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए एक आरेख दिखाता है

आइए एक चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य योजना बनाएं। आइए उदाहरण 4 के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण 4. मान लीजिए हमें समीकरण हल करना है

1) समीकरण के सभी पदों को 12 के बराबर हर के लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें।

2) कटौती के बाद हमें मिलता है
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) अज्ञात और मुक्त पदों वाले शब्दों को अलग करने के लिए, कोष्ठक खोलें:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) आइए हम एक भाग में अज्ञात वाले पदों को समूहित करें, और दूसरे भाग में मुक्त पदों को समूहित करें:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) आइए हम समान शब्द प्रस्तुत करें:
- 22х = - 154.

6) – 22 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है
एक्स = 7.

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण का मूल सात है।

आम तौर पर ऐसा निम्नलिखित योजना का उपयोग करके समीकरणों को हल किया जा सकता है:

ए) समीकरण को उसके पूर्णांक रूप में लाएँ;

बी) कोष्ठक खोलें;

ग) समीकरण के एक भाग में अज्ञात और दूसरे भाग में मुक्त पदों वाले पदों को समूहित करें;

घ) समान सदस्य लाएँ;

ई) aх = b के रूप का एक समीकरण हल करें, जो समान पदों को लाने के बाद प्राप्त किया गया था।

हालाँकि, यह योजना हर समीकरण के लिए आवश्यक नहीं है। कई सरल समीकरणों को हल करते समय, आपको पहले से नहीं, बल्कि दूसरे से शुरुआत करनी होगी ( उदाहरण। 2), तीसरा ( उदाहरण। 13) और यहां तक ​​कि पांचवें चरण से भी, जैसा कि उदाहरण 5 में है।

उदाहरण 5.समीकरण 2x = 1/4 को हल करें।

अज्ञात ज्ञात कीजिए x = 1/4: 2,
एक्स = 1/8 .

आइए मुख्य राज्य परीक्षा में पाए गए कुछ रैखिक समीकरणों को हल करने पर नज़र डालें।

उदाहरण 6.समीकरण 2 (x + 3) = 5 - 6x को हल करें।

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

उत्तर:- 0.125

उदाहरण 7.समीकरण हल करें - 6 (5 - 3x) = 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

उत्तर: 2.3

उदाहरण 8. प्रश्न हल करें

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

उदाहरण 9.यदि f (x + 2) = 3 7 है तो f(6) ज्ञात कीजिए

समाधान

चूँकि हमें f(6) खोजने की आवश्यकता है, और हम f (x + 2) जानते हैं,
तो x + 2 = 6.

हम रैखिक समीकरण x + 2 = 6 को हल करते हैं,
हमें x = 6 – 2, x = 4 मिलता है।

यदि x = 4 है तो
एफ(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

उत्तर: 27.

यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं या आप समीकरणों को हल करने को अधिक अच्छी तरह से समझना चाहते हैं, तो अनुसूची में मेरे पाठों के लिए साइन अप करें। मुझे आपकी मदद करने में खुशी होगी!

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पाठ स्क्रिप्ट

कंप्यूटर का उपयोग करना।

शैक्षिक संस्था -नगर शैक्षणिक संस्थान "सेवरस्काया जिमनैजियम" ज़ाटो सेवरस्क।

वस्तु -अंक शास्त्र।

कक्षा -तीसरा।

विषय:कई चरणों में समीकरणों को हल करना.

पाठ का प्रकार- नए ज्ञान की खोज.

पाठ स्वरूप –समस्या-खोज सीखने के तत्वों के साथ संयुक्त पाठ।

शैक्षिक गतिविधियों के आयोजन के रूप:किसी समस्या को हल करने के लिए सामूहिक गतिविधि, पसंद के व्यक्तिगत कार्य, जोड़ियों में काम, स्वतंत्र कार्य।

पाठ मकसद:

शैक्षिक और पद्धति संबंधी समर्थन - 3 भागों में तीसरी कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक "गणित", भाग 2, एल.जी. पीटरसन.

पाठ की अवधि- 45 मिनटों।

13 स्लाइड (पावर प्वाइंट, वर्ड)।

पाठ के लिए आवश्यक उपकरण और सामग्री:

कंप्यूटर, मीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन।

ब्लैकबोर्ड, पाठ्यपुस्तक, कार्यपुस्तिकाएँ, मीडिया उत्पाद।

तरीके:

संकट

तुलनात्मक

अवलोकन

योजनाबद्धता का उपयोग करना (एक एल्गोरिदम तैयार करना)

कार्य के रूप:

सामूहिक गतिविधियाँ

विकल्पों पर काम करें, आपसी सत्यापन करें

कोई वैकल्पिक कार्य करना

स्वतंत्र काम

समीकरण, क्रियाओं के घटक, क्रियाओं का क्रम, एल्गोरिथम।

ग्रंथ सूची:

तीसरी कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक "गणित" एल.जी. द्वारा। पीटरसन 3 भागों में, भाग दो, एम.: युवेंटा पब्लिशिंग हाउस, 2008।

एल.जी. पीटरसन "गतिविधि-आधारित दृष्टिकोण और प्राथमिक विद्यालय में गणित के पाठों में इसका कार्यान्वयन," पत्रिका "प्राथमिक विद्यालय: प्लस या माइनस," संख्या 5, 1999 में लेख।

इंटरनेट संसाधन: http:// www. cwer. आरयू/ फ़ाइलें (चित्रों)

कक्षाओं के दौरान:

पाठ मकसद:विभिन्न प्रकार के समीकरणों के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित करना;

किसी अज्ञात घटक को खोजने का कौशल विकसित करना, क्रिया घटकों के माध्यम से समीकरणों पर टिप्पणी करने में छात्रों को प्रशिक्षित करना;

यौगिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का परिचय दें;

कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करें, अध्ययन किए गए प्रकारों की समस्याओं को हल करने का अभ्यास करें;

सही गणितीय भाषण और तार्किक सोच विकसित करें;

अपनी गतिविधियों का स्व-मूल्यांकन करना सिखाएं, अपनी गतिविधियों के परिणामों की तुलना एक मॉडल से करें।

संगठनात्मक क्षण (स्लाइड संख्या 1)।

मौखिक व्यायाम (स्लाइड संख्या 2)।

भावों पर विचार करें. क्रियाओं का क्रम निर्धारित करें, अंतिम क्रिया पर प्रकाश डालें।

के एम + एन: 3 (5 + बी): 16

ए · 4 – 8 (15: x) · (8 – वाई)

अंतिम क्रिया के आधार पर भाव पढ़ें.

नई सामग्री का परिचय.

(स्लाइड नंबर 3)

प्रविष्टियाँ पढ़ें. याद रखें कि प्रत्येक प्रविष्टि को क्या कहा जाता है?

26 + 37 (डी: अभिव्यक्ति)

236 - 21 = 215 (डी: सच्ची समानता)

48: x (डी: परिवर्तनीय अभिव्यक्ति)

किन मूल्यों पर एअसमानता सत्य होगी?

हमने किस गणितीय अवधारणा का नाम नहीं लिया है? (डी: समीकरण)

मेरा सुझाव है कि आप कई समीकरणों को हल करें, लेकिन पहले हम अज्ञात घटक खोजने के नियमों को दोहराएंगे:

पत्ते:

(छात्र कार्ड का उपयोग करके अज्ञात घटक खोजने के नियम दोहराते हैं)।

अब संख्या को अपनी नोटबुक में लिखें और निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:

(स्लाइड नंबर 4)

ए - 86 = 9 56: सी = 2 4 (4 बी - 16) : 2 = 10

काम किसने किया?

आपने कितने समीकरण हल किये? (डी: दो समीकरण)।

आइए हल किए गए समीकरणों की जाँच करें। (स्लाइड संख्या 4ए)।

पहले समीकरण का मूल क्या है? (डी: ए = 95)।

दूसरे समीकरण का मूल क्या है? (डी: सी = 7)।

तीसरे समीकरण को हल करने में क्या समस्या उत्पन्न हुई?

(डी: दाईं ओर सरल बनाने के लिए कुछ भी नहीं है)।

शायद कोई पाठ का विषय तैयार कर सके?

(डी: समीकरणों को कई चरणों में हल करना)।

हाँ, यह सही है, आज हम कई चरणों में समीकरणों को हल करना सीखेंगे। (स्लाइड नंबर 5)

आइए फिर से अपने समीकरण पर करीब से नज़र डालें। इस बारे में सोचें कि आप और मैं क्या अच्छी तरह जानते हैं? हम पहले से ही क्या कर सकते हैं?

बच्चों के उत्तर (स्लाइड संख्या 6):

हम जानते हैं कि कार्यों का क्रम कैसे निर्धारित किया जाए।

हम सरल समीकरणों को हल कर सकते हैं और अज्ञात घटकों को ढूंढ सकते हैं।

हम जानते हैं कि ऑपरेशन कैसे करना है (प्रत्यक्ष और उलटा)।

आइए वह करें जो हम जानते हैं कि कैसे करना है, इससे हमें मदद मिलेगी। और मैं हमारे कार्यों को रिकॉर्ड करूंगा। (शिक्षक एक परिचयात्मक संवाद के साथ छात्रों की गतिविधियों को निर्देशित करते हैं; वे क्रियाओं का उच्चारण करते हैं और अपनी नोटबुक में समीकरण को हल करते हैं)। स्लाइड नंबर 7

(4·बी – 16) : 2 = 10 1. कार्यों का क्रम निर्धारित करें।

2. अंतिम क्रिया का चयन करें.

3. अज्ञात घटक का निर्धारण करें.

4 · बी - 16 = 10 · 2 4. नियम लागू करें।

4 ·बी – 16 = 20 5. दाएँ पक्ष को सरल कीजिए।

6. हम कार्यों का क्रम व्यवस्थित करते हैं।

7. अंतिम क्रिया का चयन करें.

8. अज्ञात घटक का निर्धारण करें.

4 · बी = 20 + 16 9. नियम लागू करें।

4 · बी = 36 10. दाएँ पक्ष को सरल कीजिए।

11. अज्ञात घटक का निर्धारण करें।

बी = 36:4 12. नियम लागू करें।

बी = 9 13. मूल ज्ञात कीजिए।

ध्यान से देखिये, हम कौन सा कार्य कार्यक्रम लेकर आये हैं?

आपने कौन सी दिलचस्प बातें नोटिस कीं?

क्या हमारे कार्यक्रम को किसी तरह छोटा करना संभव है?

आइए क्रियाओं का एक एल्गोरिदम बनाएं:

(स्लाइड नंबर 8)

शारीरिक शिक्षा मिनट (स्लाइड संख्या 9)।

आँखों के लिए जिम्नास्टिक.

प्राथमिक समेकन (उच्चारण)।

(स्लाइड संख्या 10)।

अब, एल्गोरिथम का उपयोग करके, आइए निम्नलिखित समीकरण को समझाने का प्रयास करें:

(2 + एक्स: 7) · 8 = 72

2 + x: 7 = 72: 8

2 + एक्स : 7 = 9 छात्र चरण दर चरण टिप्पणी करते हैं

x: 7 = 9 – 2 समीकरण का हल।

अपना हाथ उठाएँ, कौन स्पष्ट रूप से समझता है कि समीकरण को कई चरणों में कैसे हल किया जाए? हमें अपने कार्यों के बारे में बताएं.

और कौन कठिनाइयों का सामना कर रहा है और उसे सहायता की आवश्यकता है?

आत्म - संयम।

अपने समाधान की जाँच करें, नोटबुक का आदान-प्रदान करें, अपने पड़ोसी की जाँच में मदद करें।

जो कोई भी सोचता है कि समाधान सही है, कि उसने काम पूरा कर लिया है, वह हाशिये में "+" डाल देता है।

छात्रों के काम की जाँच करें. समीकरण का समान मूल किसे मिला?

कार्य का परिणाम.

दोस्तों, आज के पाठ का विषय क्या है?

पाठ की शुरुआत में आपको किस समस्या का सामना करना पड़ा?

आपने कठिनाइयों का सामना कैसे किया?

क्रियाओं के एल्गोरिथ्म को दोहराएं।

क्या आपको लगता है कि अब काम करते समय क्या हम केवल समीकरणों को ही हल करना सीखते हैं? (डी: हम अपनी गतिविधियों की योजना बनाना सीखते हैं, गिनती, गणना का अभ्यास करते हैं, कार्यों को पूरा करना सीखते हैं)।

क्या हमारा ज्ञान और कौशल जीवन में उपयोगी हो सकते हैं? कहाँ? कब?

आप पाठ में कौन से कीवर्ड पर प्रकाश डालेंगे?

(डी: समीकरण, प्रक्रिया, अज्ञात घटक, अज्ञात घटक खोजने का नियम, अभिव्यक्ति) - स्लाइड नंबर 11.

8. अपनी गतिविधियों का स्व-मूल्यांकन।

यदि पाठ में यह आसान था, तो आपने सब कुछ समझ लिया - हरा रंग। यदि कठिनाइयाँ, शंकाएँ हों - पीला। विषय समझ में नहीं आया तो कठिन था - रंग लाल। – स्लाइड “12.

9. गृहकार्य (स्लाइड संख्या 13)

अपना उदाहरण समीकरण कई चरणों में बनाएं;

पृष्ठ 36, क्रमांक 7 (विकल्पों के अनुसार)।

स्लाइड नंबर 14-पाठ का अंत.